Номер 12, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 12, страница 46.

Условие.

5.12. Параллелограммы $ABCD$ и $AMKD$ не лежат в одной плоскости (рис. 5.16). Докажите, что четырёхугольник $BMKC$ – параллелограмм.

Рис. 5.16

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом. По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны параллельны и равны. Следовательно, для сторон $BC$ и $AD$ выполняется:
$BC \parallel AD$ и $BC = AD$.

Также по условию, $AMKD$ является параллелограммом. Аналогично, для его противолежащих сторон $MK$ и $AD$ выполняется:
$MK \parallel AD$ и $MK = AD$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $BMKC$. Сравним его противолежащие стороны $BC$ и $MK$.
Поскольку $BC \parallel AD$ и $MK \parallel AD$, то по теореме о двух прямых, параллельных третьей, следует, что $BC \parallel MK$.
Поскольку $BC = AD$ и $MK = AD$, то по свойству транзитивности равенства длин отрезков, следует, что $BC = MK$.

Таким образом, в четырехугольнике $BMKC$ две противолежащие стороны ($BC$ и $MK$) одновременно и параллельны, и равны. Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.
Следовательно, $BMKC$ — параллелограмм, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что четырехугольник $BMKC$ — параллелограмм.