Номер 5, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 5, страница 46.

Условие.

5.5. Даны прямые $a$ и $b$ и плоскость $\alpha$. Верно ли утверждение:

1) если $a \parallel \alpha$ и $b \parallel \alpha$, то $a \parallel b$;

2) если $a \parallel b$ и $b \parallel \alpha$, то $a \parallel \alpha$;

3) если $a \parallel b$ и $b \subset \alpha$, то $a \parallel \alpha$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) если $a \parallel \alpha$ и $b \parallel \alpha$, то $a \parallel b$;

Утверждение неверно. Две прямые, которые параллельны одной и той же плоскости, не обязательно параллельны друг другу. Они могут пересекаться или быть скрещивающимися.

Чтобы убедиться в этом, приведем контрпример. Представим, что плоскость $\alpha$ — это пол. Прямая $a$ и прямая $b$ — это две пересекающиеся прямые на потолке. Поскольку потолок параллелен полу, то обе прямые $a$ и $b$ параллельны плоскости $\alpha$. Однако между собой они пересекаются, а значит, не являются параллельными.

Другой контрпример (для скрещивающихся прямых): в прямоугольной системе координат возьмем плоскость $\alpha$ как плоскость $Oxy$ ($z=0$). Пусть прямая $a$ проходит через точки $(0, 0, 1)$ и $(1, 0, 1)$ (параллельна оси $Ox$), а прямая $b$ — через точки $(0, 1, 2)$ и $(0, 2, 2)$ (параллельна оси $Oy$). Обе прямые параллельны плоскости $\alpha$, но они не параллельны друг другу, а являются скрещивающимися.

Ответ: неверно.

2) если $a \parallel b$ и $b \parallel \alpha$, то $a \parallel \alpha$;

Утверждение неверно. Из того, что прямая $a$ параллельна прямой $b$, а прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$, не следует, что прямая $a$ также параллельна плоскости $\alpha$. Возможен случай, когда прямая $a$ лежит в самой плоскости $\alpha$.

Напомним, что прямая параллельна плоскости, если они не имеют общих точек. Если прямая лежит в плоскости, она имеет с ней бесконечно много общих точек и, следовательно, не параллельна ей.

Приведем контрпример. Пусть плоскость $\alpha$ — это плоскость стола. Пусть прямая $b$ — это прямая, проходящая в воздухе параллельно столу (например, карандаш, который держат над столом). Пусть прямая $a$ — это проекция прямой $b$ на стол. Тогда прямая $a$ будет лежать на столе и будет параллельна прямой $b$. Условия ($a \parallel b$ и $b \parallel \alpha$) выполнены, но заключение ($a \parallel \alpha$) неверно, так как прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

Ответ: неверно.

3) если $a \parallel b$ и $b \subset \alpha$, то $a \parallel \alpha$?

Утверждение неверно. Данное утверждение очень похоже на признак параллельности прямой и плоскости, однако в нем опущено ключевое условие: прямая $a$ не должна лежать в плоскости $\alpha$. Если это условие не выполняется, утверждение становится ложным.

Приведем контрпример. Пусть плоскость $\alpha$ — это плоскость страницы в тетради. На этой странице начертим две параллельные прямые $a$ и $b$. В этом случае оба начальных условия выполнены: прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$), и прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$). Однако заключение ($a \parallel \alpha$) неверно, так как прямая $a$ тоже лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$) и, следовательно, не может быть ей параллельна (в смысле отсутствия общих точек).

Для того чтобы утверждение было верным, оно должно было бы звучать так: «Если прямая $a$, не лежащая в плоскости $\alpha$, параллельна некоторой прямой $b$, лежащей в этой плоскости, то прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$».

Ответ: неверно.