Номер 3, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 3, страница 45.

Условие.

5.3. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 5.13), точки $E$ и $F$ – середины рёбер $CC_1$ и $DD_1$ соответственно. Запишите грани параллелепипеда, которым параллельна прямая:

1) $AB$

2) $CC_1$

3) $AC$

4) $EF$

Рис. 5.12

Рис. 5.13

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

1) AB

Прямая $AB$ является ребром прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

• Рассмотрим грань $A_1B_1C_1D_1$ (верхнюю). В параллелепипеде противоположные рёбра параллельны, поэтому $AB \parallel A_1B_1$. Так как прямая $A_1B_1$ лежит в плоскости $A_1B_1C_1D_1$, а прямая $AB$ ей не принадлежит, то $AB$ параллельна грани $A_1B_1C_1D_1$.
• Рассмотрим грань $DCC_1D_1$ (заднюю). В параллелепипеде $AB \parallel DC$. Так как прямая $DC$ лежит в плоскости $DCC_1D_1$, а прямая $AB$ ей не принадлежит, то $AB$ параллельна грани $DCC_1D_1$.

Прямая $AB$ лежит в гранях $ABCD$ и $ABB_1A_1$, поэтому не может быть им параллельна. Остальные грани ($ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$) прямая $AB$ пересекает.

Ответ: $A_1B_1C_1D_1$ и $DCC_1D_1$.

2) CC₁

Прямая $CC_1$ является боковым ребром параллелепипеда.

• Рассмотрим грань $ADD_1A_1$ (левую). Боковые рёбра прямоугольного параллелепипеда параллельны, поэтому $CC_1 \parallel DD_1$. Так как прямая $DD_1$ лежит в плоскости $ADD_1A_1$, а прямая $CC_1$ ей не принадлежит, то $CC_1$ параллельна грани $ADD_1A_1$.
• Рассмотрим грань $ABB_1A_1$ (переднюю). Аналогично, $CC_1 \parallel AA_1$. Так как прямая $AA_1$ лежит в плоскости $ABB_1A_1$, а прямая $CC_1$ ей не принадлежит, то $CC_1$ параллельна грани $ABB_1A_1$.

Прямая $CC_1$ лежит в гранях $BCC_1B_1$ и $DCC_1D_1$, поэтому не может быть им параллельна. Остальные грани ($ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$) прямая $CC_1$ пересекает.

Ответ: $ADD_1A_1$ и $ABB_1A_1$.

3) AC

Прямая $AC$ является диагональю нижней грани $ABCD$.

• Рассмотрим грань $A_1B_1C_1D_1$ (верхнюю). $A_1C_1$ — диагональ этой грани. Четырёхугольник $AA_1C_1C$ является параллелограммом, так как $AA_1 \parallel CC_1$ и $AA_1 = CC_1$. Следовательно, $AC \parallel A_1C_1$. Так как прямая $A_1C_1$ лежит в плоскости $A_1B_1C_1D_1$, а прямая $AC$ ей не принадлежит, то $AC$ параллельна грани $A_1B_1C_1D_1$.

Прямая $AC$ лежит в грани $ABCD$ и пересекает боковые грани, поэтому она не параллельна никаким другим граням.

Ответ: $A_1B_1C_1D_1$.

4) EF

Точки $E$ и $F$ — середины рёбер $CC_1$ и $DD_1$ соответственно. Рассмотрим заднюю грань $DCC_1D_1$. Так как $DD_1 \parallel CC_1$, то $DCC_1D_1$ — прямоугольник. Отрезок $EF$ соединяет середины его противоположных сторон $DD_1$ и $CC_1$, следовательно, $EF$ параллелен двум другим сторонам: $EF \parallel DC$ и $EF \parallel D_1C_1$.

• Рассмотрим грань $ABCD$ (нижнюю). Она содержит ребро $DC$. Так как $EF \parallel DC$, то прямая $EF$ параллельна плоскости $ABCD$.
• Рассмотрим грань $A_1B_1C_1D_1$ (верхнюю). Она содержит ребро $D_1C_1$. Так как $EF \parallel D_1C_1$, то прямая $EF$ параллельна плоскости $A_1B_1C_1D_1$.
• Рассмотрим грань $ABB_1A_1$ (переднюю). Она содержит ребро $AB$. В параллелепипеде $AB \parallel DC$. Так как мы установили, что $EF \parallel DC$, то по свойству транзитивности параллельных прямых, $EF \parallel AB$. Следовательно, прямая $EF$ параллельна плоскости $ABB_1A_1$.

Прямая $EF$ не параллельна граням $DCC_1D_1$ (так как лежит в её плоскости), $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ (так как пересекает их в точках $F$ и $E$ соответственно).

Ответ: $ABCD$, $A_1B_1C_1D_1$ и $ABB_1A_1$.