Номер 2, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 2, страница 45.

Условие.

2. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.

Решение 1.

Решение 3.

2.

Признак параллельности прямой и плоскости — это теорема, которая устанавливает достаточное условие для того, чтобы прямая была параллельна плоскости.

Формулировка теоремы:

Если прямая, которая не лежит в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Формальная запись:

Пусть даны прямая $a$ и плоскость $\alpha$. Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$), если выполняются три условия:

1. Существует прямая $b$, лежащая в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

2. Прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$).

3. Прямая $a$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($a \not\subset \alpha$).

Доказательство теоремы (методом от противного):

Дано: $a \not\subset \alpha$, $b \subset \alpha$, $a \parallel b$.
Доказать: $a \parallel \alpha$.

1. Так как прямые $a$ и $b$ параллельны, то через них можно провести единственную плоскость. Обозначим эту плоскость $\beta$. Таким образом, прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$, $b \subset \beta$).

2. Прямая $b$ принадлежит плоскости $\alpha$ по условию и плоскости $\beta$ по построению. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $b$ ($\alpha \cap \beta = b$).

3. Предположим, что утверждение теоремы неверно, то есть прямая $a$ не параллельна плоскости $\alpha$. По определению, это означает, что прямая $a$ и плоскость $\alpha$ имеют общую точку. Назовем ее $M$.

4. Поскольку точка $M$ лежит на прямой $a$ ($M \in a$), а прямая $a$ полностью лежит в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$), то точка $M$ также принадлежит и плоскости $\beta$ ($M \in \beta$).

5. Итак, точка $M$ принадлежит и плоскости $\alpha$ (по нашему предположению), и плоскости $\beta$. Значит, точка $M$ должна лежать на линии пересечения этих плоскостей, то есть на прямой $b$ ($M \in b$).

6. Таким образом, мы пришли к выводу, что точка $M$ является общей точкой для прямых $a$ и $b$. Это означает, что прямые $a$ и $b$ пересекаются.

7. Однако это противоречит исходному условию, согласно которому прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$). Параллельные прямые по определению не имеют общих точек.

8. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение было ложным. Следовательно, прямая $a$ не может иметь общих точек с плоскостью $\alpha$, а значит, она параллельна ей. Что и требовалось доказать.

Ответ: Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.