Номер 26, страница 40 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 26, страница 40.

Условие.

4.26. Вершина $A$ параллелограмма $ABCD$ принадлежит плоскости $\alpha$. Через вершины $B$, $C$ и $D$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $B_1$, $C_1$ и $D_1$ соответственно. Найдите отрезок $CC_1$, если $DD_1 = 9$ см, $BB_1 = 26$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для вершин любого параллелограмма $ABCD$ справедливо векторное равенство для их радиус-векторов, проведенных из произвольного начала координат: $\vec{A} + \vec{C} = \vec{B} + \vec{D}$.

Спроецируем это векторное равенство на прямую, перпендикулярную плоскости $\alpha$. Проекция точки на эту прямую будет равна ее расстоянию до плоскости $\alpha$, взятому со знаком «+», если точка находится с одной стороны от плоскости, и со знаком «-», если с другой. Обозначим эти направленные расстояния как $h_A, h_B, h_C, h_D$. Так как операция проецирования является линейной, для проекций векторов равенство сохранится:

$h_A + h_C = h_B + h_D$

Согласно условию задачи, вершина $A$ принадлежит плоскости $\alpha$, поэтому ее расстояние до плоскости равно нулю, то есть $h_A = 0$. Длины заданных отрезков являются абсолютными значениями (модулями) соответствующих расстояний:

$BB_1 = |h_B| = 26$ см

$DD_1 = |h_D| = 9$ см

Требуется найти длину отрезка $CC_1$, которая равна $|h_C|$.

Подставим $h_A = 0$ в наше равенство:

$0 + h_C = h_B + h_D \implies h_C = h_B + h_D$

Существует два возможных случая взаимного расположения вершин $B$ и $D$ относительно плоскости $\alpha$.

1. Вершины $B$ и $D$ расположены по одну сторону от плоскости $\alpha$.
В этом случае их направленные расстояния $h_B$ и $h_D$ имеют одинаковые знаки. Мы можем положить $h_B = 26$ см и $h_D = 9$ см (или оба отрицательны, что даст тот же результат для модуля). Тогда:

$h_C = 26 + 9 = 35$ см

Длина отрезка $CC_1$ будет равна:

$CC_1 = |h_C| = |35| = 35$ см.

2. Вершины $B$ и $D$ расположены по разные стороны от плоскости $\alpha$.
В этом случае их направленные расстояния $h_B$ и $h_D$ имеют противоположные знаки. Мы можем положить $h_B = 26$ см и $h_D = -9$ см (или наоборот, что даст тот же результат для модуля). Тогда:

$h_C = 26 + (-9) = 17$ см

Длина отрезка $CC_1$ будет равна:

$CC_1 = |h_C| = |17| = 17$ см.

Так как в условии задачи не уточнено расположение вершин параллелограмма относительно плоскости, задача имеет два возможных решения.

Ответ: 35 см или 17 см.