Номер 27, страница 40 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 27, страница 40.

Условие.

4.27. Прямая пересекает сторону $AB$ треугольника $ABC$ в точке $M$, а сторону $BC$ – в точке $K$, таких, что $\frac{BM}{MA} = \frac{BK}{KC}$. Докажите, что $MK \parallel AC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Рассмотрим треугольник $ABC$ и треугольник $MBK$.

1. Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников ($\triangle ABC$ и $\triangle MBK$).

2. По условию задачи дано соотношение, что прямая, пересекающая стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $K$ соответственно, делит их в равных отношениях, считая от вершины $B$:

$\frac{BM}{MA} = \frac{BK}{KC}$

Это соотношение можно преобразовать. Возьмем обратные величины с обеих сторон равенства:

$\frac{MA}{BM} = \frac{KC}{BK}$

Прибавим к обеим частям равенства единицу:

$\frac{MA}{BM} + 1 = \frac{KC}{BK} + 1$

Приводя к общему знаменателю в каждой части, получаем:

$\frac{MA + BM}{BM} = \frac{KC + BK}{BK}$

Поскольку точки $M$ и $K$ лежат на отрезках $AB$ и $BC$, то $MA + BM = AB$ и $KC + BK = BC$. Подставим эти выражения в полученное равенство:

$\frac{AB}{BM} = \frac{BC}{BK}$

Это равенство показывает, что стороны треугольников $ABC$ и $MBK$, прилежащие к общему углу $\angle B$, пропорциональны.

Таким образом, мы установили, что треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle MBK$ имеют общий угол $\angle B$ и пропорциональные стороны, образующие этот угол ($\frac{AB}{BM} = \frac{BC}{BK}$).

По второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними) следует, что $\triangle ABC \sim \triangle MBK$.

Из подобия треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, угол при вершине $M$ в треугольнике $MBK$ равен углу при вершине $A$ в треугольнике $ABC$:

$\angle BMK = \angle BAC$

Углы $\angle BMK$ и $\angle BAC$ являются соответственными углами при пересечении прямых $MK$ и $AC$ секущей $AB$. Так как эти соответственные углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямые $MK$ и $AC$ параллельны.

Следовательно, $MK \parallel AC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.