Номер 23, страница 39 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 23, страница 39.

Условие.

4.23. Через концы отрезка $AB$, пересекающего плоскость $\alpha$, и его середину $C$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно (рис. 4.17). Найдите отрезок $CC_1$, если $AA_1 = 16$ см, $BB_1 = 8$ см.

Рис. 4.16

Рис. 4.17

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ параллельны по условию задачи, то через две из них, например $AA_1$ и $BB_1$, можно провести единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\beta$.

В этой плоскости $\beta$ лежат точки $A$, $A_1$, $B$ и $B_1$. Так как отрезок $AB$ соединяет точки $A$ и $B$, он также лежит в плоскости $\beta$. По условию, точка $C$ является серединой отрезка $AB$, следовательно, точка $C$ также принадлежит плоскости $\beta$. Прямая $CC_1$, будучи параллельной $AA_1$ и $BB_1$, также лежит в этой плоскости $\beta$.

Таким образом, все точки $A, B, C, A_1, B_1, C_1$ лежат в одной плоскости $\beta$.

Рассмотрим четырехугольник $AA_1B_1B$. В этом четырехугольнике стороны $AA_1$ и $BB_1$ параллельны. Следовательно, $AA_1B_1B$ является трапецией, где $AA_1$ и $BB_1$ — основания, а $AB$ и $A_1B_1$ — боковые стороны.

Точка $C$ — середина боковой стороны $AB$. Отрезок $CC_1$ соединяет середину боковой стороны $AB$ с точкой $C_1$ на другой боковой стороне $A_1B_1$, и при этом $CC_1$ параллелен основаниям трапеции. По свойству трапеции, такой отрезок является ее средней линией.

Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований. В нашем случае основаниями являются отрезки $AA_1$ и $BB_1$.

Формула для нахождения длины средней линии $CC_1$ выглядит так:

$CC_1 = \frac{AA_1 + BB_1}{2}$

Подставим в формулу данные из условия задачи: $AA_1 = 16$ см и $BB_1 = 8$ см.

$CC_1 = \frac{16 + 8}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Ответ: 12 см.