Номер 18, страница 39 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 18, страница 39.

Условие.

4.18. Прямые $a$, $b$ и $c$ пересекают плоскость $\alpha$ в точках $A$, $B$ и $C$, не лежащих на одной прямой (рис. 4.16). Прямая $b$ пересекает прямую $a$ в точке $D$, а прямая $c$ – в точке $E$. Докажите, что прямые $b$ и $c$ скрещивающиеся.

Рис. 4.16

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства того, что прямые $b$ и $c$ являются скрещивающимися, воспользуемся методом от противного. Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Доказательство:

Предположим, что прямые $b$ и $c$ не являются скрещивающимися. Это означает, что они либо пересекаются, либо параллельны. В любом из этих случаев через прямые $b$ и $c$ можно провести единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\beta$.

По условию, прямая $b$ пересекает прямую $a$ в точке $D$, а прямая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $E$.

Поскольку точка $D$ лежит на прямой $b$ ($D \in b$), а прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$), то точка $D$ также принадлежит плоскости $\beta$ ($D \in \beta$). Аналогично, поскольку точка $E$ лежит на прямой $c$ ($E \in c$), а прямая $c$ лежит в плоскости $\beta$ ($c \subset \beta$), то точка $E$ также принадлежит плоскости $\beta$ ($E \in \beta$).

Точки $D$ и $E$ обе лежат на прямой $a$. Так как две различные точки прямой $a$ (точки $D$ и $E$) принадлежат плоскости $\beta$, то и вся прямая $a$ целиком лежит в этой плоскости ($a \subset \beta$) согласно аксиоме стереометрии.

Таким образом, мы пришли к выводу, что все три прямые $a, b$ и $c$ лежат в одной плоскости $\beta$.

По условию задачи, точка $A$ лежит на прямой $a$, точка $B$ — на прямой $b$ и точка $C$ — на прямой $c$. Так как все эти прямые лежат в плоскости $\beta$, то и точки $A, B, C$ также лежат в плоскости $\beta$.

В то же время, по условию, точки $A, B$ и $C$ лежат в плоскости $\alpha$ и, что очень важно, не лежат на одной прямой.

Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Поскольку точки $A, B, C$ лежат как в плоскости $\alpha$, так и в плоскости $\beta$, эти плоскости должны совпадать: $\alpha = \beta$.

Если плоскости $\alpha$ и $\beta$ совпадают, то из нашего вывода ($a, b, c \subset \beta$) следует, что прямые $a, b, c$ лежат в плоскости $\alpha$. Однако это противоречит условию задачи, в котором говорится, что прямые $a, b, c$ пересекают плоскость $\alpha$, а не лежат в ней.

Полученное противоречие возникло из-за нашего первоначального предположения о том, что прямые $b$ и $c$ не скрещивающиеся. Следовательно, это предположение неверно.

Таким образом, прямые $b$ и $c$ не могут лежать в одной плоскости, а значит, они являются скрещивающимися, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые $b$ и $c$ являются скрещивающимися.