Номер 14, страница 38 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 14, страница 38.

Условие.

4.14. Конец $A$ отрезка $AB$ принадлежит плоскости $\alpha$. Через точку $B$ и точку $C$, принадлежащую отрезку $AB$, проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно.

1) Докажите, что точки $A$, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.

2) Найдите отрезок $BB_1$, если точка $C$ — середина отрезка $AB$ и $CC_1 = 5$ см.

3) Найдите отрезок $CC_1$, если $AC : BC = 3 : 4$ и $BB_1 = 28$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Две параллельные прямые $BB_1$ и $CC_1$ задают плоскость, назовем ее $\beta$. Точки $B$ и $C$ лежат на этих прямых, следовательно, они принадлежат плоскости $\beta$. По условию, точка $C$ лежит на отрезке $AB$, значит точки $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой. Так как две точки ($B$ и $C$) этой прямой принадлежат плоскости $\beta$, то вся прямая, на которой лежат точки $A$, $B$ и $C$, также принадлежит плоскости $\beta$. Следовательно, точка $A$ лежит в плоскости $\beta$. Из условия задачи мы знаем, что точки $A$, $B_1$ и $C_1$ лежат в плоскости $\alpha$. Таким образом, точки $A$, $B_1$ и $C_1$ одновременно принадлежат двум плоскостям: $\alpha$ и $\beta$. Линией пересечения двух различных плоскостей является прямая. Значит, все три точки $A$, $B_1$ и $C_1$ лежат на этой прямой пересечения. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

2) Рассмотрим угол, образованный пересекающимися прямыми $AB$ и $AB_1$. Параллельные прямые $CC_1$ и $BB_1$ пересекают стороны этого угла. Согласно обобщенной теореме Фалеса (или из подобия треугольников $\triangle ACC_1$ и $\triangle ABB_1$), отношения отрезков, отсекаемых на сторонах угла, равны: $ \frac{AC}{AB} = \frac{CC_1}{BB_1} $ По условию, точка $C$ является серединой отрезка $AB$. Это означает, что $AC$ составляет половину от $AB$, то есть $\frac{AC}{AB} = \frac{1}{2}$. Подставим известные значения в пропорцию, зная, что $CC_1 = 5$ см: $ \frac{1}{2} = \frac{5}{BB_1} $ Из этого уравнения находим длину отрезка $BB_1$: $ BB_1 = 2 \cdot 5 = 10 $ см.
Ответ: 10 см.

3) Как и в предыдущем пункте, воспользуемся соотношением, вытекающим из теоремы о пропорциональных отрезках: $ \frac{AC}{AB} = \frac{CC_1}{BB_1} $ По условию $AC : BC = 3 : 4$. Это значит, что если принять длину отрезка $AC$ за $3x$, то длина отрезка $BC$ будет $4x$. Тогда длина всего отрезка $AB$ будет равна их сумме: $AB = AC + BC = 3x + 4x = 7x$. Теперь мы можем найти отношение длины $AC$ к длине $AB$: $ \frac{AC}{AB} = \frac{3x}{7x} = \frac{3}{7} $ Подставим это отношение и известную длину $BB_1 = 28$ см в нашу пропорцию: $ \frac{3}{7} = \frac{CC_1}{28} $ Выразим отсюда искомую длину отрезка $CC_1$: $ CC_1 = \frac{3 \cdot 28}{7} = 3 \cdot 4 = 12 $ см.
Ответ: 12 см.