Номер 15, страница 38 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 15, страница 38.

Условие.

4.15. Конец $C$ отрезка $CD$ принадлежит плоскости $\beta$. На отрезке $CD$ отмечена точка $E$ так, что $CE = 6$ см, $DE = 9$ см. Через точки $D$ и $E$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\beta$ в точках $D_1$ и $E_1$ соответственно. Найдите отрезок $DD_1$, если $EE_1 = 12$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку параллельные прямые $DD_1$ и $EE_1$ проходят через точки $D$ и $E$, лежащие на прямой $CD$, то все четыре точки $C, D, D_1, E_1$ лежат в одной плоскости. Назовем эту плоскость $\gamma$.

Плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\beta$ по некоторой прямой. Так как точки $C, E_1, D_1$ принадлежат обеим плоскостям (по условию $C, E_1, D_1$ лежат в плоскости $\beta$, и по построению они лежат в плоскости $\gamma$), то они лежат на линии их пересечения. Следовательно, точки $C, E_1, D_1$ лежат на одной прямой.

Рассмотрим треугольники $\triangle CEE_1$ и $\triangle CDD_1$, которые лежат в плоскости $\gamma$.

У этих треугольников угол $\angle C$ является общим. Так как прямые $EE_1$ и $DD_1$ параллельны по условию, а прямая $CD$ является их секущей, то соответственные углы $\angle CEE_1$ и $\angle CDD_1$ равны.

Таким образом, $\triangle CEE_1$ подобен $\triangle CDD_1$ по двум углам. Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:
$\frac{CE}{CD} = \frac{EE_1}{DD_1}$

Найдем длину отрезка $CD$. Поскольку точка $E$ лежит на отрезке $CD$, то $CD = CE + DE$.
$CD = 6 \text{ см} + 9 \text{ см} = 15 \text{ см}$.

Подставим известные значения в полученную пропорцию:
$\frac{6}{15} = \frac{12}{DD_1}$

Выразим и найдем длину отрезка $DD_1$:
$DD_1 = \frac{15 \cdot 12}{6} = 15 \cdot 2 = 30 \text{ см}$.

Ответ: 30 см.