Номер 9, страница 38 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 9, страница 38.

Условие.

4.9. Прямые $a$ и $b$ скрещивающиеся. Точки $A$ и $B$ принадлежат прямой $a$, точки $C$ и $D$ – прямой $b$. Каково взаимное расположение прямых $AC$ и $BD$? Ответ обоснуйте.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для определения взаимного расположения прямых $AC$ и $BD$ воспользуемся методом доказательства от противного.

Допустим, что прямые $AC$ и $BD$ не являются скрещивающимися. Это означает, что они лежат в одной плоскости, то есть либо пересекаются, либо параллельны. Обозначим эту плоскость $\pi$.

Если прямые $AC$ и $BD$ лежат в плоскости $\pi$, то все точки $A, C, B, D$ также принадлежат этой плоскости $\pi$.

По условию задачи точки $A$ и $B$ принадлежат прямой $a$. Поскольку точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\pi$, то и вся прямая $a$, проходящая через них, лежит в плоскости $\pi$ (согласно следствию из аксиом стереометрии).

Аналогично, по условию задачи точки $C$ и $D$ принадлежат прямой $b$. Поскольку точки $C$ и $D$ лежат в плоскости $\pi$, то и вся прямая $b$, проходящая через них, также лежит в плоскости $\pi$.

Таким образом, мы приходим к выводу, что прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости $\pi$. Однако это противоречит условию задачи, в котором сказано, что прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися. По определению, скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Следовательно, наше первоначальное допущение о том, что прямые $AC$ и $BD$ лежат в одной плоскости, неверно. Это означает, что они не могут ни пересекаться, ни быть параллельными.

Две прямые в пространстве, которые не пересекаются и не являются параллельными, называются скрещивающимися.

Ответ: Прямые $AC$ и $BD$ являются скрещивающимися.