Номер 8, страница 38 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 8, страница 38.

Условие.

4.8. Через точку, не лежащую на прямой $a$, проведены две прямые, не имеющие общих точек с прямой $a$. Докажите, что хотя бы одна из этих прямых и прямая $a$ являются скрещивающимися.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $M$ — точка, не лежащая на прямой $a$. Пусть через точку $M$ проведены две различные прямые $b$ и $c$, которые не имеют общих точек с прямой $a$. Это означает, что они не пересекают прямую $a$: $b \cap a = \emptyset$ и $c \cap a = \emptyset$.

Мы докажем утверждение методом от противного. Предположим, что утверждение неверно, то есть ни одна из прямых $b$ и $c$ не скрещивается с прямой $a$. Это означает, что пара прямых $(a, b)$ не является скрещивающейся, и пара прямых $(a, c)$ также не является скрещивающейся.

Рассмотрим взаимное расположение прямых $a$ и $b$ в пространстве. Две прямые могут либо пересекаться, либо быть параллельными, либо скрещиваться.

• По условию, прямые $a$ и $b$ не имеют общих точек, значит, они не пересекаются.
• По нашему предположению, они не являются скрещивающимися.

Единственная оставшаяся возможность — прямые $a$ и $b$ параллельны, то есть $a \parallel b$.

Аналогично рассуждаем для прямых $a$ и $c$:

• По условию, прямые $a$ и $c$ не имеют общих точек, значит, они не пересекаются.
• По нашему предположению, они не являются скрещивающимися.

Следовательно, прямые $a$ и $c$ также должны быть параллельными: $a \parallel c$.

В итоге мы пришли к тому, что через точку $M$, не лежащую на прямой $a$, проходят две различные прямые ($b$ и $c$), каждая из которых параллельна одной и той же прямой $a$.

Это противоречит аксиоме о параллельных прямых в пространстве (следствие V постулата Евклида): через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Так как наше предположение привело к противоречию, оно неверно. Следовательно, исходное утверждение верно: хотя бы одна из прямых ($b$ или $c$) и прямая $a$ являются скрещивающимися. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Хотя бы одна из двух прямых, проведенных через точку, не лежащую на прямой $a$, и не имеющих с ней общих точек, является скрещивающейся с прямой $a$.