Номер 11, страница 38 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 11, страница 38.

Условие.

4.11. Каким может быть взаимное расположение прямых $b$ и $c$, если:

1) прямые $a$ и $b$ пересекаются, а прямые $a$ и $c$ параллельны;

2) прямые $a$ и $b$ параллельны, а прямые $a$ и $c$ скрещивающиеся?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) прямые a и b пересекаются, а прямые a и c параллельны;

Пусть даны три прямые в пространстве: $a$, $b$ и $c$. Известно, что прямые $a$ и $b$ пересекаются, а прямые $a$ и $c$ параллельны. Запишем это как $a \cap b \neq \emptyset$ и $a \parallel c$.

Поскольку прямые $a$ и $c$ параллельны, они определяют единственную плоскость $\alpha$, в которой обе лежат. То есть, $a \subset \alpha$ и $c \subset \alpha$.

Прямая $b$ пересекает прямую $a$ в некоторой точке $M$. Так как $a \subset \alpha$, то точка $M$ также принадлежит плоскости $\alpha$. Теперь рассмотрим два возможных случая расположения прямой $b$ относительно плоскости $\alpha$:

Случай 1: Прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$.
В этом случае все три прямые ($a, b, c$) лежат в одной плоскости $\alpha$. Нам дано, что прямая $b$ пересекает прямую $a$. В плоскости, если одна прямая ($b$) пересекает одну из двух параллельных прямых ($a$), то она пересекает и вторую ($c$), за исключением случая, когда она им параллельна. Но $b$ не параллельна $a$ (так как пересекает её), следовательно, $b$ не параллельна $c$. Значит, прямые $b$ и $c$ пересекаются.

Случай 2: Прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$.
В этом случае прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$ в единственной точке — точке $M$, которая лежит на прямой $a$. Прямая $c$ также находится в плоскости $\alpha$, но не проходит через точку $M$ (если бы $c$ проходила через $M$ и была параллельна $a$, то $c$ и $a$ совпадали бы, что обычно не подразумевается в таких задачах; если $a=c$, то $c$ и $b$ пересекаются). Так как прямая $b$ имеет с плоскостью $\alpha$ только одну общую точку $M$, а прямая $c$ лежит в этой плоскости, но не содержит точку $M$, то прямые $b$ и $c$ не пересекаются.

Проверим, могут ли они быть параллельными. Если предположить, что $b \parallel c$, то из условия $a \parallel c$ по теореме о трёх параллельных прямых следовало бы, что $a \parallel b$. Однако по условию прямые $a$ и $b$ пересекаются. Следовательно, $b$ и $c$ не могут быть параллельными.

Поскольку в этом случае прямые $b$ и $c$ не пересекаются и не параллельны, они являются скрещивающимися.

Ответ: Прямые $b$ и $c$ могут пересекаться или быть скрещивающимися.

2) прямые a и b параллельны, а прямые a и c скрещивающиеся;

Дано, что $a \parallel b$, а прямые $a$ и $c$ скрещиваются. Это означает, что $a$ и $c$ не лежат в одной плоскости, не пересекаются и не параллельны.

Рассмотрим возможные взаимные положения прямых $b$ и $c$.

Могут ли $b$ и $c$ быть параллельными? Если предположить, что $b \parallel c$, то из условия $a \parallel b$ следовало бы, что $a \parallel c$ (свойство транзитивности параллельности). Это противоречит условию, что $a$ и $c$ скрещиваются. Значит, $b$ и $c$ не могут быть параллельными.

Остаются два варианта: прямые $b$ и $c$ либо пересекаются, либо скрещиваются. Покажем, что оба варианта возможны.

Случай 1: Прямые $b$ и $c$ пересекаются.
Покажем возможность такой ситуации на примере. Пусть в декартовой системе координат прямая $a$ проходит через точку $(1, 0, 1)$ параллельно оси Oy. Прямая $b$ параллельна $a$, пусть это будет сама ось Oy. Прямая $c$ пусть будет осью Ox. Проверим исходные условия:

• $a \parallel b$: да, обе прямые параллельны оси Oy.
• $a$ и $c$ (ось Ox) скрещиваются: прямая $a$ ($x=1, z=1$) и ось Ox ($y=0, z=0$) не пересекаются и не параллельны. Условия выполнены.

Теперь посмотрим на взаимное расположение $b$ (ось Oy) и $c$ (ось Ox). Они пересекаются в начале координат. Следовательно, пересечение $b$ и $c$ возможно.

Случай 2: Прямые $b$ и $c$ скрещиваются.
Покажем возможность и этой ситуации. Пусть прямая $a$ — ось Ox. Прямая $b$, параллельная $a$, пусть будет прямая $y=1, z=0$. Прямая $c$, скрещивающаяся с $a$ (осью Ox), пусть будет прямая $x=0, z=1$. Проверим исходные условия:

• $a \parallel b$: да, обе прямые параллельны оси Ox.
• $a$ (ось Ox) и $c$ ($x=0, z=1$) скрещиваются: они не пересекаются и не параллельны. Условия выполнены.

Теперь посмотрим на взаимное расположение $b$ ($y=1, z=0$) и $c$ ($x=0, z=1$). Они не имеют общих точек (для $b$ $z=0$, для $c$ $z=1$) и не параллельны (их направляющие векторы $(1,0,0)$ и $(0,1,0)$ не коллинеарны). Следовательно, они скрещиваются. Этот случай также возможен.

Ответ: Прямые $b$ и $c$ могут пересекаться или быть скрещивающимися.