Номер 17, страница 39 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 17, страница 39.

Условие.

4.17. Точка $C$ – середина отрезка $AB$, не пересекающего плоскость $\beta$. Через точки $A$, $B$ и $C$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\beta$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Найдите отрезок $AA_1$, если $BB_1 = 18$ см, $CC_1 = 15$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ параллельны между собой, а точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой, то точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ также будут лежать на одной прямой в плоскости $\beta$.

Рассмотрим плоскость, определяемую параллельными прямыми $AA_1$ и $BB_1$. В этой плоскости будут лежать отрезки $AB$ и $A_1B_1$. Так как точка $C$ лежит на отрезке $AB$, а прямая $CC_1$ параллельна $AA_1$, то вся фигура $ABB_1A_1$ вместе с отрезком $CC_1$ лежит в одной плоскости.

Четырехугольник $ABB_1A_1$ является трапецией, так как $AA_1 || BB_1$ (по условию), а отрезки $AB$ и $A_1B_1$ не параллельны (поскольку $AB$ не пересекает плоскость $\beta$). $AA_1$ и $BB_1$ являются основаниями этой трапеции.

По условию, точка $C$ — середина боковой стороны $AB$ трапеции. Отрезок $CC_1$ соединяет середину боковой стороны $AB$ с точкой $C_1$ на другой боковой стороне $A_1B_1$, и при этом $CC_1$ параллелен основаниям $AA_1$ и $BB_1$. Следовательно, отрезок $CC_1$ является средней линией трапеции $ABB_1A_1$.

Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований. Запишем это в виде формулы:

$CC_1 = \frac{AA_1 + BB_1}{2}$

Подставим известные значения в формулу: $BB_1 = 18$ см и $CC_1 = 15$ см.

$15 = \frac{AA_1 + 18}{2}$

Теперь решим это уравнение относительно $AA_1$:

$15 \cdot 2 = AA_1 + 18$

$30 = AA_1 + 18$

$AA_1 = 30 - 18$

$AA_1 = 12$ см

Ответ: 12 см.