Номер 22, страница 39 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 22, страница 39.

Условие.

4.22. Точка $M$ не принадлежит ни одной из параллельных прямых $a$ и $b$. Известно, что через точку $M$ можно провести прямую, пересекающую каждую из прямых $a$ и $b$. Докажите, что прямые $a$ и $b$ и точка $M$ лежат в одной плоскости.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$), то согласно аксиоме стереометрии, через них проходит единственная плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha$. Таким образом, обе прямые, $a$ и $b$, лежат в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$ и $b \subset \alpha$).
По условию, существует прямая, проходящая через точку $M$ и пересекающая прямые $a$ и $b$. Обозначим эту прямую как $c$, а точки ее пересечения с прямыми $a$ и $b$ — точками $A$ и $B$ соответственно.
Так как точка $A$ принадлежит прямой $a$, а прямая $a$ целиком лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$).
Аналогично, так как точка $B$ принадлежит прямой $b$, а прямая $b$ целиком лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $B$ лежит в плоскости $\alpha$ ($B \in \alpha$).
Прямая $c$ проходит через две различные точки $A$ и $B$ (точки различны, так как прямые $a$ и $b$ параллельны), которые обе лежат в плоскости $\alpha$. Согласно аксиоме стереометрии, если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Следовательно, прямая $c$ полностью принадлежит плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$).
Поскольку точка $M$ по условию лежит на прямой $c$ ($M \in c$), а мы установили, что вся прямая $c$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $M$ также лежит в плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$).
Таким образом, мы доказали, что прямые $a$ и $b$ и точка $M$ лежат в одной и той же плоскости $\alpha$.
Ответ: Что и требовалось доказать.