Номер 24, страница 39 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 24, страница 39.

Условие.

4.24. На отрезке $AB$, пересекающем плоскость $\alpha$, отмечена точка $C$ так, что $AC : BC = 5 : 3$. Через точки $A$, $B$ и $C$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Найдите отрезок $AA_1$, если $BB_1 = 10$ см, $CC_1 = 4$ см и точки $A$ и $C$ лежат по разные стороны от плоскости $\alpha$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку точка C лежит на отрезке AB и делит его в отношении $AC:BC=5:3$, мы можем выразить радиус-вектор точки C через радиус-векторы точек A и B, используя формулу деления отрезка в данном отношении:

$\vec{c} = \frac{3\vec{a} + 5\vec{b}}{3+5} = \frac{3\vec{a} + 5\vec{b}}{8}$

Прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ параллельны. Выберем ось координат $Oz$, параллельную этим прямым, а плоскость $\alpha$ примем за плоскость $z=0$. Тогда длины отрезков $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ будут равны абсолютным значениям z-координат точек A, B и C: $AA_1 = |z_A|$, $BB_1 = |z_B|$, $CC_1 = |z_C|$.

Проекция векторного равенства на ось $Oz$ дает аналогичное соотношение для z-координат:

$z_C = \frac{3z_A + 5z_B}{8}$

По условию, точки A и C лежат по разные стороны от плоскости $\alpha$. Это означает, что их z-координаты имеют противоположные знаки, то есть $z_A \cdot z_C < 0$.

Поскольку C лежит на отрезке AB, а A и C находятся по разные стороны от плоскости $\alpha$, то отрезок AB также пересекает плоскость, а значит, точки A и B тоже лежат по разные стороны от плоскости $\alpha$. Следовательно, $z_A \cdot z_B < 0$.

Из этих двух условий следует, что координаты $z_B$ и $z_C$ имеют одинаковый знак ($z_B \cdot z_C > 0$), то есть точки B и C лежат по одну сторону от плоскости $\alpha$.

Пусть искомая длина $AA_1 = x$. Примем, что точка A находится в положительной полуплоскости относительно плоскости $\alpha$, тогда $z_A = x$.

Тогда точка C находится в отрицательной полуплоскости. Учитывая, что $CC_1 = 4$ см, ее координата $z_C = -4$.

Точка B также находится в отрицательной полуплоскости. Учитывая, что $BB_1 = 10$ см, ее координата $z_B = -10$.

Подставим эти значения в формулу для координат:

$-4 = \frac{3 \cdot x + 5 \cdot (-10)}{8}$

Решим полученное уравнение:

$8 \cdot (-4) = 3x - 50$

$-32 = 3x - 50$

$3x = 50 - 32$

$3x = 18$

$x = 6$

Таким образом, длина отрезка $AA_1$ равна 6 см.

Ответ: 6 см.