Страница 38 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.7. Треугольники $ABC$ и $ADB$ лежат в разных плоскостях (рис. 4.15). Каково взаимное расположение прямых $AD$ и $BC$? Ответ обоснуйте.

4.7.Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещивающимися. Для определения взаимного расположения прямых $AD$ и $BC$ воспользуемся методом от противного.
Предположим, что прямые $AD$ и $BC$ не являются скрещивающимися. Тогда они либо пересекаются, либо параллельны. В обоих случаях через них можно провести единственную плоскость. Пусть все четыре точки $A, B, C, D$ лежат в одной плоскости $\alpha$.
В таком случае треугольник $ABC$, который определяется точками $A, B, C$, лежит в плоскости $\alpha$. Аналогично, треугольник $ADB$, определяемый точками $A, D, B$, также лежит в плоскости $\alpha$.
Это означает, что оба треугольника лежат в одной и той же плоскости. Однако, по условию задачи, треугольники $ABC$ и $ADB$ лежат в разных плоскостях. Мы получили противоречие.
Следовательно, наше предположение было неверным. Прямые $AD$ и $BC$ не могут лежать в одной плоскости, а значит они не пересекаются и не параллельны. Таким образом, прямые $AD$ и $BC$ являются скрещивающимися.
Ответ: Прямые $AD$ и $BC$ являются скрещивающимися.

4.8.Пусть через точку $M$, не лежащую на прямой $a$, проведены две различные прямые $b$ и $c$. По условию, прямые $b$ и $c$ не имеют общих точек с прямой $a$. Это значит, что каждая из них либо параллельна прямой $a$, либо скрещивается с ней.
Докажем утверждение методом от противного. Предположим, что ни одна из прямых $b$ и $c$ не скрещивается с прямой $a$.
Так как прямая $b$ не имеет общих точек с прямой $a$ и, по нашему предположению, не скрещивается с ней, то прямая $b$ должна быть параллельна прямой $a$ ($b \parallel a$).
Аналогично, так как прямая $c$ не имеет общих точек с прямой $a$ и не скрещивается с ней, то она также должна быть параллельна прямой $a$ ($c \parallel a$).
Таким образом, мы имеем две различные прямые $b$ и $c$, проходящие через одну и ту же точку $M$, и обе они параллельны прямой $a$.
Это противоречит теореме о параллельных прямых в пространстве (следствие из аксиомы параллельных), которая гласит, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Следовательно, наше предположение неверно. Значит, хотя бы одна из прямых $b$ или $c$ является скрещивающейся с прямой $a$.
Ответ: Утверждение доказано.

4.8. Через точку, не лежащую на прямой $a$, проведены две прямые, не имеющие общих точек с прямой $a$. Докажите, что хотя бы одна из этих прямых и прямая $a$ являются скрещивающимися.

Пусть $M$ — точка, не лежащая на прямой $a$. Пусть через точку $M$ проведены две различные прямые $b$ и $c$, которые не имеют общих точек с прямой $a$. Это означает, что они не пересекают прямую $a$: $b \cap a = \emptyset$ и $c \cap a = \emptyset$.

Мы докажем утверждение методом от противного. Предположим, что утверждение неверно, то есть ни одна из прямых $b$ и $c$ не скрещивается с прямой $a$. Это означает, что пара прямых $(a, b)$ не является скрещивающейся, и пара прямых $(a, c)$ также не является скрещивающейся.

Рассмотрим взаимное расположение прямых $a$ и $b$ в пространстве. Две прямые могут либо пересекаться, либо быть параллельными, либо скрещиваться.

• По условию, прямые $a$ и $b$ не имеют общих точек, значит, они не пересекаются.
• По нашему предположению, они не являются скрещивающимися.

Единственная оставшаяся возможность — прямые $a$ и $b$ параллельны, то есть $a \parallel b$.

Аналогично рассуждаем для прямых $a$ и $c$:

• По условию, прямые $a$ и $c$ не имеют общих точек, значит, они не пересекаются.
• По нашему предположению, они не являются скрещивающимися.

Следовательно, прямые $a$ и $c$ также должны быть параллельными: $a \parallel c$.

В итоге мы пришли к тому, что через точку $M$, не лежащую на прямой $a$, проходят две различные прямые ($b$ и $c$), каждая из которых параллельна одной и той же прямой $a$.

Это противоречит аксиоме о параллельных прямых в пространстве (следствие V постулата Евклида): через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Так как наше предположение привело к противоречию, оно неверно. Следовательно, исходное утверждение верно: хотя бы одна из прямых ($b$ или $c$) и прямая $a$ являются скрещивающимися. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Хотя бы одна из двух прямых, проведенных через точку, не лежащую на прямой $a$, и не имеющих с ней общих точек, является скрещивающейся с прямой $a$.

4.9. Прямые $a$ и $b$ скрещивающиеся. Точки $A$ и $B$ принадлежат прямой $a$, точки $C$ и $D$ – прямой $b$. Каково взаимное расположение прямых $AC$ и $BD$? Ответ обоснуйте.

Для определения взаимного расположения прямых $AC$ и $BD$ воспользуемся методом доказательства от противного.

Допустим, что прямые $AC$ и $BD$ не являются скрещивающимися. Это означает, что они лежат в одной плоскости, то есть либо пересекаются, либо параллельны. Обозначим эту плоскость $\pi$.

Если прямые $AC$ и $BD$ лежат в плоскости $\pi$, то все точки $A, C, B, D$ также принадлежат этой плоскости $\pi$.

По условию задачи точки $A$ и $B$ принадлежат прямой $a$. Поскольку точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\pi$, то и вся прямая $a$, проходящая через них, лежит в плоскости $\pi$ (согласно следствию из аксиом стереометрии).

Аналогично, по условию задачи точки $C$ и $D$ принадлежат прямой $b$. Поскольку точки $C$ и $D$ лежат в плоскости $\pi$, то и вся прямая $b$, проходящая через них, также лежит в плоскости $\pi$.

Таким образом, мы приходим к выводу, что прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости $\pi$. Однако это противоречит условию задачи, в котором сказано, что прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися. По определению, скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Следовательно, наше первоначальное допущение о том, что прямые $AC$ и $BD$ лежат в одной плоскости, неверно. Это означает, что они не могут ни пересекаться, ни быть параллельными.

Две прямые в пространстве, которые не пересекаются и не являются параллельными, называются скрещивающимися.

Ответ: Прямые $AC$ и $BD$ являются скрещивающимися.

4.10. Прямые $a$ и $b$ параллельны. Точки $A$ и $B$ принадлежат прямой $a$, точки $C$ и $D$ – прямой $b$. Каково взаимное расположение прямых $AC$ и $BD$? Ответ обоснуйте.

Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны, они задают единственную плоскость. Все точки $A, B, C, D$ лежат в этой плоскости, а значит и прямые $AC$ и $BD$ также лежат в этой плоскости. Две прямые в одной плоскости могут пересекаться, быть параллельными или совпадать.

Случай, когда прямые $AC$ и $BD$ совпадают, невозможен. Если бы они совпадали, то все четыре точки $A, B, C, D$ лежали бы на одной прямой. Это означало бы, что прямая $a$ (содержащая точки $A$ и $B$) и прямая $b$ (содержащая точки $C$ и $D$) совпадают, что противоречит условию, так как параллельные прямые по определению не имеют общих точек.

Следовательно, для прямых $AC$ и $BD$ возможны два варианта взаимного расположения: они пересекаются или параллельны. Рассмотрим оба случая.

Рассмотрим четырехугольник $ACDB$. Его стороны $AB$ и $CD$ лежат на параллельных прямых $a$ и $b$ соответственно. Это означает, что $ACDB$ — это трапеция, основания которой лежат на прямых $a$ и $b$. Прямые $AC$ и $BD$ являются боковыми сторонами этой трапеции.

1. Прямые $AC$ и $BD$ пересекаются.

Это общий случай. Боковые стороны трапеции пересекаются, если трапеция не является параллелограммом. Это произойдет, если расположение точек $A, B$ на прямой $a$ не "копирует" в точности расположение точек $C, D$ на прямой $b$. Говоря языком векторов, это случай, когда вектор $\vec{AB}$ не равен вектору $\vec{CD}$ (т.е. $\vec{AB} \neq \vec{CD}$). В этом случае прямые, содержащие боковые стороны $AC$ и $BD$, пересекаются.

2. Прямые $AC$ и $BD$ параллельны.

Это частный случай. Боковые стороны трапеции $ACDB$ параллельны тогда и только тогда, когда эта трапеция является параллелограммом. Для этого необходимо, чтобы не только основания были параллельны, но и боковые стороны. Это условие выполняется, когда направленный отрезок (вектор) из $A$ в $B$ равен направленному отрезку из $C$ в $D$, то есть $\vec{AB} = \vec{CD}$. Это означает, что отрезок $AB$ имеет ту же длину и то же направление, что и отрезок $CD$. В этом частном случае четырехугольник $ACDB$ является параллелограммом, и его противоположные стороны $AC$ и $BD$ параллельны.

Ответ: Прямые $AC$ и $BD$ могут либо пересекаться, либо быть параллельными.
1. Прямые $AC$ и $BD$ пересекаются, если векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ не равны ($\vec{AB} \neq \vec{CD}$). Это является общим случаем.
2. Прямые $AC$ и $BD$ параллельны, если векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны ($\vec{AB} = \vec{CD}$). Это является частным случаем.

4.11. Каким может быть взаимное расположение прямых $b$ и $c$, если:

1) прямые $a$ и $b$ пересекаются, а прямые $a$ и $c$ параллельны;

2) прямые $a$ и $b$ параллельны, а прямые $a$ и $c$ скрещивающиеся?

1) прямые a и b пересекаются, а прямые a и c параллельны;

Пусть даны три прямые в пространстве: $a$, $b$ и $c$. Известно, что прямые $a$ и $b$ пересекаются, а прямые $a$ и $c$ параллельны. Запишем это как $a \cap b \neq \emptyset$ и $a \parallel c$.

Поскольку прямые $a$ и $c$ параллельны, они определяют единственную плоскость $\alpha$, в которой обе лежат. То есть, $a \subset \alpha$ и $c \subset \alpha$.

Прямая $b$ пересекает прямую $a$ в некоторой точке $M$. Так как $a \subset \alpha$, то точка $M$ также принадлежит плоскости $\alpha$. Теперь рассмотрим два возможных случая расположения прямой $b$ относительно плоскости $\alpha$:

Случай 1: Прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$.
В этом случае все три прямые ($a, b, c$) лежат в одной плоскости $\alpha$. Нам дано, что прямая $b$ пересекает прямую $a$. В плоскости, если одна прямая ($b$) пересекает одну из двух параллельных прямых ($a$), то она пересекает и вторую ($c$), за исключением случая, когда она им параллельна. Но $b$ не параллельна $a$ (так как пересекает её), следовательно, $b$ не параллельна $c$. Значит, прямые $b$ и $c$ пересекаются.

Случай 2: Прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$.
В этом случае прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$ в единственной точке — точке $M$, которая лежит на прямой $a$. Прямая $c$ также находится в плоскости $\alpha$, но не проходит через точку $M$ (если бы $c$ проходила через $M$ и была параллельна $a$, то $c$ и $a$ совпадали бы, что обычно не подразумевается в таких задачах; если $a=c$, то $c$ и $b$ пересекаются). Так как прямая $b$ имеет с плоскостью $\alpha$ только одну общую точку $M$, а прямая $c$ лежит в этой плоскости, но не содержит точку $M$, то прямые $b$ и $c$ не пересекаются.

Проверим, могут ли они быть параллельными. Если предположить, что $b \parallel c$, то из условия $a \parallel c$ по теореме о трёх параллельных прямых следовало бы, что $a \parallel b$. Однако по условию прямые $a$ и $b$ пересекаются. Следовательно, $b$ и $c$ не могут быть параллельными.

Поскольку в этом случае прямые $b$ и $c$ не пересекаются и не параллельны, они являются скрещивающимися.

Ответ: Прямые $b$ и $c$ могут пересекаться или быть скрещивающимися.

2) прямые a и b параллельны, а прямые a и c скрещивающиеся;

Дано, что $a \parallel b$, а прямые $a$ и $c$ скрещиваются. Это означает, что $a$ и $c$ не лежат в одной плоскости, не пересекаются и не параллельны.

Рассмотрим возможные взаимные положения прямых $b$ и $c$.

Могут ли $b$ и $c$ быть параллельными? Если предположить, что $b \parallel c$, то из условия $a \parallel b$ следовало бы, что $a \parallel c$ (свойство транзитивности параллельности). Это противоречит условию, что $a$ и $c$ скрещиваются. Значит, $b$ и $c$ не могут быть параллельными.

Остаются два варианта: прямые $b$ и $c$ либо пересекаются, либо скрещиваются. Покажем, что оба варианта возможны.

Случай 1: Прямые $b$ и $c$ пересекаются.
Покажем возможность такой ситуации на примере. Пусть в декартовой системе координат прямая $a$ проходит через точку $(1, 0, 1)$ параллельно оси Oy. Прямая $b$ параллельна $a$, пусть это будет сама ось Oy. Прямая $c$ пусть будет осью Ox. Проверим исходные условия:

• $a \parallel b$: да, обе прямые параллельны оси Oy.
• $a$ и $c$ (ось Ox) скрещиваются: прямая $a$ ($x=1, z=1$) и ось Ox ($y=0, z=0$) не пересекаются и не параллельны. Условия выполнены.

Теперь посмотрим на взаимное расположение $b$ (ось Oy) и $c$ (ось Ox). Они пересекаются в начале координат. Следовательно, пересечение $b$ и $c$ возможно.

Случай 2: Прямые $b$ и $c$ скрещиваются.
Покажем возможность и этой ситуации. Пусть прямая $a$ — ось Ox. Прямая $b$, параллельная $a$, пусть будет прямая $y=1, z=0$. Прямая $c$, скрещивающаяся с $a$ (осью Ox), пусть будет прямая $x=0, z=1$. Проверим исходные условия:

• $a \parallel b$: да, обе прямые параллельны оси Ox.
• $a$ (ось Ox) и $c$ ($x=0, z=1$) скрещиваются: они не пересекаются и не параллельны. Условия выполнены.

Теперь посмотрим на взаимное расположение $b$ ($y=1, z=0$) и $c$ ($x=0, z=1$). Они не имеют общих точек (для $b$ $z=0$, для $c$ $z=1$) и не параллельны (их направляющие векторы $(1,0,0)$ и $(0,1,0)$ не коллинеарны). Следовательно, они скрещиваются. Этот случай также возможен.

Ответ: Прямые $b$ и $c$ могут пересекаться или быть скрещивающимися.

4.12. Сколько плоскостей могут задавать три попарно параллельные прямые? Сделайте рисунок.

Для определения плоскости в пространстве достаточно задать две параллельные прямые. Рассмотрим два возможных случая расположения трех попарно параллельных прямых.

Случай 1: Все три прямые лежат в одной плоскости.

Пусть даны три попарно параллельные прямые $a$, $b$ и $c$, которые лежат в одной плоскости $\alpha$. В этом случае любая пара этих прямых (например, $a$ и $b$, или $b$ и $c$, или $a$ и $c$) будет определять одну и ту же плоскость $\alpha$. Таким образом, три такие прямые задают только одну плоскость.

Случай 2: Прямые не лежат в одной плоскости.

Пусть прямые $a$, $b$ и $c$ попарно параллельны, но не лежат в одной плоскости (некомпланарны). В этом случае каждая пара прямых задает свою, отдельную плоскость: пара прямых $a$ и $b$ задает плоскость $\alpha$; пара $b$ и $c$ задает плоскость $\beta$; пара $a$ и $c$ задает плоскость $\gamma$. Так как все три прямые не лежат в одной плоскости, то плоскости $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ будут различными. Если бы, например, плоскости $\alpha$ и $\beta$ совпадали, то все три прямые ($a, b, c$) лежали бы в этой одной плоскости, что противоречит условию данного случая. Следовательно, в этом случае прямые задают три различные плоскости. Такое расположение можно представить как боковые ребра треугольной призмы.

Таким образом, три попарно параллельные прямые могут задавать либо одну, либо три плоскости.

Ответ: одна или три плоскости.

4.13. Сколько плоскостей задают четыре попарно параллельные прямые, никакие три из которых не лежат в одной плоскости? Сделайте рисунок.

Согласно одной из аксиом стереометрии, через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость. В условии даны четыре попарно параллельные прямые. Обозначим их $a, b, c$ и $d$.

Чтобы найти общее количество плоскостей, которые задают эти прямые, необходимо определить, сколько различных пар параллельных прямых можно составить из четырех данных. Эта задача сводится к нахождению числа сочетаний из 4 элементов по 2.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество прямых $n=4$, а для задания одной плоскости требуется выбрать $k=2$ прямые. Подставляя эти значения в формулу, получаем:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$

Таким образом, можно образовать 6 уникальных пар прямых, каждая из которых задает свою плоскость. Эти пары: $(a, b)$, $(a, c)$, $(a, d)$, $(b, c)$, $(b, d)$ и $(c, d)$.

Условие "никакие три из которых не лежат в одной плоскости" является ключевым. Оно гарантирует, что все 6 плоскостей, заданные этими парами, различны. Если бы, например, прямые $a, b$ и $c$ лежали в одной плоскости, то плоскости, образованные парами $(a, b)$, $(a, c)$ и $(b, c)$, совпадали бы, и общее число уникальных плоскостей было бы меньше.

Рисунок

На рисунке четыре параллельные прямые $a, b, c, d$ изображены в виде боковых ребер наклонного параллелепипеда. Такое расположение удовлетворяет условию, что никакие три прямые не лежат в одной плоскости. Четыре плоскости являются боковыми гранями этого параллелепипеда, а еще две — его диагональными сечениями (на рисунке закрашена одна из диагональных плоскостей, проходящая через прямые $a$ и $c$).

Ответ: 6

4.14. Конец $A$ отрезка $AB$ принадлежит плоскости $\alpha$. Через точку $B$ и точку $C$, принадлежащую отрезку $AB$, проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно.

1) Докажите, что точки $A$, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.

2) Найдите отрезок $BB_1$, если точка $C$ — середина отрезка $AB$ и $CC_1 = 5$ см.

3) Найдите отрезок $CC_1$, если $AC : BC = 3 : 4$ и $BB_1 = 28$ см.

1) Две параллельные прямые $BB_1$ и $CC_1$ задают плоскость, назовем ее $\beta$. Точки $B$ и $C$ лежат на этих прямых, следовательно, они принадлежат плоскости $\beta$. По условию, точка $C$ лежит на отрезке $AB$, значит точки $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой. Так как две точки ($B$ и $C$) этой прямой принадлежат плоскости $\beta$, то вся прямая, на которой лежат точки $A$, $B$ и $C$, также принадлежит плоскости $\beta$. Следовательно, точка $A$ лежит в плоскости $\beta$. Из условия задачи мы знаем, что точки $A$, $B_1$ и $C_1$ лежат в плоскости $\alpha$. Таким образом, точки $A$, $B_1$ и $C_1$ одновременно принадлежат двум плоскостям: $\alpha$ и $\beta$. Линией пересечения двух различных плоскостей является прямая. Значит, все три точки $A$, $B_1$ и $C_1$ лежат на этой прямой пересечения. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

2) Рассмотрим угол, образованный пересекающимися прямыми $AB$ и $AB_1$. Параллельные прямые $CC_1$ и $BB_1$ пересекают стороны этого угла. Согласно обобщенной теореме Фалеса (или из подобия треугольников $\triangle ACC_1$ и $\triangle ABB_1$), отношения отрезков, отсекаемых на сторонах угла, равны: $ \frac{AC}{AB} = \frac{CC_1}{BB_1} $ По условию, точка $C$ является серединой отрезка $AB$. Это означает, что $AC$ составляет половину от $AB$, то есть $\frac{AC}{AB} = \frac{1}{2}$. Подставим известные значения в пропорцию, зная, что $CC_1 = 5$ см: $ \frac{1}{2} = \frac{5}{BB_1} $ Из этого уравнения находим длину отрезка $BB_1$: $ BB_1 = 2 \cdot 5 = 10 $ см.
Ответ: 10 см.

3) Как и в предыдущем пункте, воспользуемся соотношением, вытекающим из теоремы о пропорциональных отрезках: $ \frac{AC}{AB} = \frac{CC_1}{BB_1} $ По условию $AC : BC = 3 : 4$. Это значит, что если принять длину отрезка $AC$ за $3x$, то длина отрезка $BC$ будет $4x$. Тогда длина всего отрезка $AB$ будет равна их сумме: $AB = AC + BC = 3x + 4x = 7x$. Теперь мы можем найти отношение длины $AC$ к длине $AB$: $ \frac{AC}{AB} = \frac{3x}{7x} = \frac{3}{7} $ Подставим это отношение и известную длину $BB_1 = 28$ см в нашу пропорцию: $ \frac{3}{7} = \frac{CC_1}{28} $ Выразим отсюда искомую длину отрезка $CC_1$: $ CC_1 = \frac{3 \cdot 28}{7} = 3 \cdot 4 = 12 $ см.
Ответ: 12 см.

4.15. Конец $C$ отрезка $CD$ принадлежит плоскости $\beta$. На отрезке $CD$ отмечена точка $E$ так, что $CE = 6$ см, $DE = 9$ см. Через точки $D$ и $E$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\beta$ в точках $D_1$ и $E_1$ соответственно. Найдите отрезок $DD_1$, если $EE_1 = 12$ см.

Поскольку параллельные прямые $DD_1$ и $EE_1$ проходят через точки $D$ и $E$, лежащие на прямой $CD$, то все четыре точки $C, D, D_1, E_1$ лежат в одной плоскости. Назовем эту плоскость $\gamma$.

Плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\beta$ по некоторой прямой. Так как точки $C, E_1, D_1$ принадлежат обеим плоскостям (по условию $C, E_1, D_1$ лежат в плоскости $\beta$, и по построению они лежат в плоскости $\gamma$), то они лежат на линии их пересечения. Следовательно, точки $C, E_1, D_1$ лежат на одной прямой.

Рассмотрим треугольники $\triangle CEE_1$ и $\triangle CDD_1$, которые лежат в плоскости $\gamma$.

У этих треугольников угол $\angle C$ является общим. Так как прямые $EE_1$ и $DD_1$ параллельны по условию, а прямая $CD$ является их секущей, то соответственные углы $\angle CEE_1$ и $\angle CDD_1$ равны.

Таким образом, $\triangle CEE_1$ подобен $\triangle CDD_1$ по двум углам. Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:
$\frac{CE}{CD} = \frac{EE_1}{DD_1}$

Найдем длину отрезка $CD$. Поскольку точка $E$ лежит на отрезке $CD$, то $CD = CE + DE$.
$CD = 6 \text{ см} + 9 \text{ см} = 15 \text{ см}$.

Подставим известные значения в полученную пропорцию:
$\frac{6}{15} = \frac{12}{DD_1}$

Выразим и найдем длину отрезка $DD_1$:
$DD_1 = \frac{15 \cdot 12}{6} = 15 \cdot 2 = 30 \text{ см}$.

Ответ: 30 см.

4.16. На отрезке $AB$, не пересекающем плоскость $\alpha$, отмечена точка $C$ так, что $AC = 4$ см, $BC = 8$ см. Через точки $A, B$ и $C$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $A_1, B_1$ и $C_1$ соответственно.

1) Докажите, что точки $A_1, B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.

2) Найдите отрезок $A_1C_1$, если $B_1C_1 = 10$ см.

1)

Рассмотрим плоскость $\beta$, которая проходит через две параллельные прямые $AA_1$ и $BB_1$. Так как точки $A$ и $B$ лежат в этой плоскости, то и вся прямая $AB$, содержащая эти точки, также лежит в плоскости $\beta$.

По условию, точка $C$ лежит на отрезке $AB$, следовательно, точка $C$ также принадлежит плоскости $\beta$.

Прямая $CC_1$ проведена через точку $C$ параллельно прямой $AA_1$. Поскольку точка $C$ лежит в плоскости $\beta$ и прямая $CC_1$ параллельна прямой $AA_1$, которая также лежит в плоскости $\beta$, то вся прямая $CC_1$ лежит в плоскости $\beta$.

Таким образом, все три параллельные прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ лежат в одной плоскости $\beta$.

Точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ являются точками пересечения этих прямых с плоскостью $\alpha$. Следовательно, все эти точки лежат на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Линия пересечения двух плоскостей - это прямая.

Значит, точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2)

По обобщенной теореме Фалеса, если параллельные прямые пересекают две произвольные прямые, то они отсекают на них пропорциональные отрезки.

В нашей задаче параллельные прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ пересекают прямую $AB$ и прямую $A_1B_1$. Следовательно, отрезки, отсекаемые на этих прямых, пропорциональны:

$\frac{AC}{BC} = \frac{A_1C_1}{B_1C_1}$

Подставим известные значения из условия: $AC = 4$ см, $BC = 8$ см, $B_1C_1 = 10$ см.

$\frac{4}{8} = \frac{A_1C_1}{10}$

$\frac{1}{2} = \frac{A_1C_1}{10}$

Отсюда находим $A_1C_1$:

$A_1C_1 = \frac{1 \cdot 10}{2} = 5$ см.

Ответ: $A_1C_1 = 5$ см.