Номер 4, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 4, страница 45.

Условие.

5.4. Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$. Верно ли утверждение, что прямая $a$ параллельна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Нет, данное утверждение неверно.

Если прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$), это означает, что у них нет общих точек. Следовательно, прямая $a$ не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости $\alpha$.

Однако отсутствие пересечения у двух прямых в пространстве не означает, что они параллельны. Две прямые, которые не пересекаются, могут быть либо параллельными (если они лежат в одной плоскости), либо скрещивающимися (если они не лежат в одной плоскости).

Чтобы опровергнуть утверждение, достаточно привести один контрпример.

По свойству параллельности прямой и плоскости, в плоскости $\alpha$ существует как минимум одна прямая $b$, которая параллельна прямой $a$ ($b \parallel a$).

Теперь выберем в плоскости $\alpha$ другую прямую $c$, которая пересекает прямую $b$. Прямая $c$ также лежит в плоскости $\alpha$ и не пересекается с прямой $a$. Однако прямые $a$ и $c$ не параллельны. Если предположить, что $a \parallel c$, то, поскольку $a \parallel b$, по теореме о трех параллельных прямых следовало бы, что $b \parallel c$. Но это противоречит нашему выбору, так как прямая $c$ пересекает прямую $b$.

Таким образом, прямые $a$ и $c$ не пересекаются и не параллельны. Следовательно, они являются скрещивающимися.

Поскольку мы нашли в плоскости $\alpha$ прямую $c$, которая не параллельна прямой $a$, исходное утверждение о том, что прямая $a$ параллельна любой прямой в плоскости $\alpha$, является ложным.

Ответ: Нет, утверждение неверно.