Номер 9, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 9, страница 46.

Условие.

5.9. Точки $M$ и $K$ – середины соответственно сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$. Точка $D$ не принадлежит плоскости $ABC$. Докажите, что $MK \parallel ADC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи, точки $M$ и $K$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ соответственно.

Согласно определению, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией. Следовательно, отрезок $MK$ является средней линией треугольника $ABC$.

По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне этого треугольника. В данном случае, средняя линия $MK$ параллельна стороне $AC$. Запишем это в виде соотношения: $MK \parallel AC$.

Рассмотрим плоскость $ADC$. Эта плоскость определена тремя точками $A$, $D$ и $C$. Прямая $AC$ целиком лежит в плоскости $ADC$, так как обе точки $A$ и $C$, через которые она проходит, принадлежат этой плоскости.

Теперь применим признак параллельности прямой и плоскости. Он гласит: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

В нашем случае:

• Прямая $MK$ не лежит в плоскости $ADC$. Это так, потому что прямая $MK$ лежит в плоскости $ABC$, а точка $D$ не принадлежит плоскости $ABC$, следовательно, плоскости $ABC$ и $ADC$ не совпадают и пересекаются по прямой $AC$. Так как $MK \parallel AC$, прямая $MK$ не может лежать в плоскости $ADC$.
• Прямая $MK$ параллельна прямой $AC$ ($MK \parallel AC$), как было доказано ранее.
• Прямая $AC$ лежит в плоскости $ADC$.

На основании этих трех пунктов, согласно признаку параллельности прямой и плоскости, мы можем заключить, что прямая $MK$ параллельна плоскости $ADC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.