Страница 46 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.5. Даны прямые $a$ и $b$ и плоскость $\alpha$. Верно ли утверждение:

1) если $a \parallel \alpha$ и $b \parallel \alpha$, то $a \parallel b$;

2) если $a \parallel b$ и $b \parallel \alpha$, то $a \parallel \alpha$;

3) если $a \parallel b$ и $b \subset \alpha$, то $a \parallel \alpha$?

1) если $a \parallel \alpha$ и $b \parallel \alpha$, то $a \parallel b$;

Утверждение неверно. Две прямые, которые параллельны одной и той же плоскости, не обязательно параллельны друг другу. Они могут пересекаться или быть скрещивающимися.

Чтобы убедиться в этом, приведем контрпример. Представим, что плоскость $\alpha$ — это пол. Прямая $a$ и прямая $b$ — это две пересекающиеся прямые на потолке. Поскольку потолок параллелен полу, то обе прямые $a$ и $b$ параллельны плоскости $\alpha$. Однако между собой они пересекаются, а значит, не являются параллельными.

Другой контрпример (для скрещивающихся прямых): в прямоугольной системе координат возьмем плоскость $\alpha$ как плоскость $Oxy$ ($z=0$). Пусть прямая $a$ проходит через точки $(0, 0, 1)$ и $(1, 0, 1)$ (параллельна оси $Ox$), а прямая $b$ — через точки $(0, 1, 2)$ и $(0, 2, 2)$ (параллельна оси $Oy$). Обе прямые параллельны плоскости $\alpha$, но они не параллельны друг другу, а являются скрещивающимися.

Ответ: неверно.

2) если $a \parallel b$ и $b \parallel \alpha$, то $a \parallel \alpha$;

Утверждение неверно. Из того, что прямая $a$ параллельна прямой $b$, а прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$, не следует, что прямая $a$ также параллельна плоскости $\alpha$. Возможен случай, когда прямая $a$ лежит в самой плоскости $\alpha$.

Напомним, что прямая параллельна плоскости, если они не имеют общих точек. Если прямая лежит в плоскости, она имеет с ней бесконечно много общих точек и, следовательно, не параллельна ей.

Приведем контрпример. Пусть плоскость $\alpha$ — это плоскость стола. Пусть прямая $b$ — это прямая, проходящая в воздухе параллельно столу (например, карандаш, который держат над столом). Пусть прямая $a$ — это проекция прямой $b$ на стол. Тогда прямая $a$ будет лежать на столе и будет параллельна прямой $b$. Условия ($a \parallel b$ и $b \parallel \alpha$) выполнены, но заключение ($a \parallel \alpha$) неверно, так как прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

Ответ: неверно.

3) если $a \parallel b$ и $b \subset \alpha$, то $a \parallel \alpha$?

Утверждение неверно. Данное утверждение очень похоже на признак параллельности прямой и плоскости, однако в нем опущено ключевое условие: прямая $a$ не должна лежать в плоскости $\alpha$. Если это условие не выполняется, утверждение становится ложным.

Приведем контрпример. Пусть плоскость $\alpha$ — это плоскость страницы в тетради. На этой странице начертим две параллельные прямые $a$ и $b$. В этом случае оба начальных условия выполнены: прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$), и прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$). Однако заключение ($a \parallel \alpha$) неверно, так как прямая $a$ тоже лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$) и, следовательно, не может быть ей параллельна (в смысле отсутствия общих точек).

Для того чтобы утверждение было верным, оно должно было бы звучать так: «Если прямая $a$, не лежащая в плоскости $\alpha$, параллельна некоторой прямой $b$, лежащей в этой плоскости, то прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$».

Ответ: неверно.

5.6. Прямая $a$ и плоскость $\alpha$ параллельны прямой $b$. Каким может быть взаимное расположение прямой $a$ и плоскости $\alpha$?

По условию задачи даны прямая $a$ и плоскость $\alpha$, которые параллельны одной и той же прямой $b$. Запишем это в виде математических соотношений:

1. $a \parallel b$
2. $\alpha \parallel b$

Рассмотрим второе условие: $\alpha \parallel b$. По определению, если плоскость параллельна прямой, то они не имеют общих точек. Из этого следует (согласно теореме стереометрии), что в плоскости $\alpha$ существует прямая $c$, которая также параллельна прямой $b$.

Таким образом, мы имеем:

• $c \subset \alpha$ (прямая $c$ лежит в плоскости $\alpha$)
• $c \parallel b$ (прямая $c$ параллельна прямой $b$)

Теперь сопоставим этот факт с первым условием задачи ($a \parallel b$). Используя свойство транзитивности параллельных прямых в пространстве (две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой), из $a \parallel b$ и $c \parallel b$ получаем, что $a \parallel c$.

Итак, задача сводится к определению взаимного расположения прямой $a$ и плоскости $\alpha$, зная, что прямая $a$ параллельна прямой $c$, которая лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$).

Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая ($a$) параллельна некоторой прямой ($c$), лежащей в плоскости ($\alpha$), то возможны два случая:

• Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$.
• Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$.

Проиллюстрируем, что оба случая действительно возможны.

Случай 1: Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$)

Этот случай возможен. Например, пусть плоскость $\alpha$ — это плоскость стола. Прямая $a$ — это один из краев стола. Прямая $b$ — это прямая в пространстве, расположенная над столом и параллельная краю $a$. В этом случае $a \parallel b$. Поскольку прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ и $b \parallel a$, то прямая $b$ будет параллельна и всей плоскости $\alpha$. Условия задачи выполнены, и при этом прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$.

Случай 2: Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$)

Этот случай также возможен. Например, пусть плоскость $\alpha$ — это плоскость пола. Прямая $b$ — это прямая, расположенная на высоте 1 метр параллельно полу. Тогда $\alpha \parallel b$. Прямая $a$ — это другая прямая, расположенная на высоте 2 метра и также параллельная прямой $b$. Тогда $a \parallel b$. Оба условия задачи выполнены. При этом прямая $a$ не имеет общих точек с плоскостью $\alpha$ (полом), а значит, $a \parallel \alpha$.

Третий вариант взаимного расположения — пересечение прямой и плоскости в одной точке — исключен. Если бы прямая $a$ пересекала плоскость $\alpha$, она не могла бы быть параллельна прямой $c$, лежащей в этой плоскости.

Ответ: Прямая $a$ может лежать в плоскости $\alpha$ или быть параллельной плоскости $\alpha$.

5.7. Прямые $a$ и $b$ пересекаются, а плоскость $\alpha$ параллельна прямой $a$. Каким может быть взаимное расположение прямой $b$ и плоскости $\alpha$?

Пусть прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$. По условию, плоскость $\alpha$ параллельна прямой $a$.

По определению, если прямая параллельна плоскости, то они не имеют общих точек. Так как $a \parallel \alpha$, то $a \cap \alpha = \emptyset$. Поскольку точка $M$ принадлежит прямой $a$ ($M \in a$), то она не может принадлежать плоскости $\alpha$ ($M \notin \alpha$).

Теперь рассмотрим взаимное расположение прямой $b$ и плоскости $\alpha$. Прямая $b$ проходит через точку $M$, которая не лежит в плоскости $\alpha$. Из этого следует, что прямая $b$ не может лежать в плоскости $\alpha$, так как в этом случае все ее точки, включая $M$, принадлежали бы плоскости $\alpha$, что является противоречием.

Следовательно, для прямой $b$ и плоскости $\alpha$ остаются возможными только два варианта взаимного расположения:
1. Прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$ в одной точке.
2. Прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$.

Докажем, что оба этих случая возможны. Пересекающиеся прямые $a$ и $b$ определяют единственную плоскость $\beta$.

Случай 1: Прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$.
Этот случай реализуется, если плоскость $\beta$, содержащая прямые $a$ и $b$, пересекает плоскость $\alpha$. Пусть линия их пересечения — прямая $c$. Согласно теореме о линии пересечения двух плоскостей, одна из которых проходит через прямую, параллельную другой плоскости, прямая $c$ параллельна прямой $a$ ($c \parallel a$). В плоскости $\beta$ лежат прямые $a$, $b$ и $c$. Так как прямая $b$ пересекает прямую $a$, она не параллельна ей, а значит, $b$ пересекает и прямую $c$, которая параллельна $a$. Точка пересечения прямых $b$ и $c$ принадлежит обеим прямым. Поскольку прямая $c$ лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$), то эта точка пересечения является общей точкой для прямой $b$ и плоскости $\alpha$. Таким образом, прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$.

Случай 2: Прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$.
Этот случай реализуется, если плоскость $\beta$, содержащая прямые $a$ и $b$, параллельна плоскости $\alpha$. Если $\beta \parallel \alpha$, то по определению параллельных плоскостей, любая прямая, лежащая в плоскости $\beta$, параллельна плоскости $\alpha$. Так как $a \subset \beta$, то $a \parallel \alpha$, что соответствует условию. Так как $b \subset \beta$, то и $b \parallel \alpha$. Таким образом, этот случай также возможен.

Ответ: Прямая $b$ может пересекать плоскость $\alpha$ или быть параллельной плоскости $\alpha$.

5.8. Вершины $E$ и $F$ правильного шестиугольника $ABCDEF$ лежат в плоскости $\alpha$, отличной от плоскости шестиугольника (рис. 5.14). Каково взаимное расположение плоскости $\alpha$ и прямой:

1) $BC$;

2) $AB$;

3) $BD$;

4) $AD$?

Рис. 5.14

Поскольку вершины $E$ и $F$ правильного шестиугольника $ABCDEF$ лежат в плоскости $\alpha$, то по аксиоме стереометрии вся прямая $EF$ также лежит в плоскости $\alpha$. Плоскость шестиугольника и плоскость $\alpha$ различны, так как по условию они не совпадают.

1) BC
В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны. Сторона $BC$ противолежит стороне $FE$, следовательно, $BC \parallel FE$.
Прямая $FE$ лежит в плоскости $\alpha$. Прямая $BC$ не лежит в плоскости $\alpha$, так как точки $B$ и $C$ не принадлежат ей. Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Таким образом, прямая $BC$ параллельна плоскости $\alpha$.
Ответ: прямая $BC$ параллельна плоскости $\alpha$.

2) AB
Прямые $AB$ и $EF$ лежат в одной плоскости — плоскости шестиугольника. В правильном шестиугольнике смежные стороны непараллельны, поэтому прямые $AB$ и $EF$ не параллельны. А раз они лежат в одной плоскости и не параллельны, то они пересекаются в некоторой точке $M$.
Поскольку прямая $EF$ полностью лежит в плоскости $\alpha$, то и точка их пересечения $M$ принадлежит плоскости $\alpha$. Точка $M$ также принадлежит прямой $AB$. Так как прямая $AB$ имеет с плоскостью $\alpha$ общую точку $M$ и не лежит в ней, то прямая $AB$ пересекает плоскость $\alpha$.
Ответ: прямая $AB$ пересекает плоскость $\alpha$.

3) BD
Диагональ $BD$ и сторона $EF$ лежат в плоскости шестиугольника. В правильном шестиугольнике диагональ $BD$ не параллельна стороне $EF$ (диагональ $BD$ параллельна стороне $AF$). Следовательно, прямые $BD$ и $EF$ пересекаются в некоторой точке $K$.
Так как прямая $EF$ лежит в плоскости $\alpha$, то точка $K$ принадлежит плоскости $\alpha$. Точка $K$ также принадлежит прямой $BD$. Таким образом, прямая $BD$ имеет общую точку с плоскостью $\alpha$ и, не лежа в ней, пересекает эту плоскость.
Ответ: прямая $BD$ пересекает плоскость $\alpha$.

4) AD
В правильном шестиугольнике большая диагональ $AD$ параллельна стороне $FE$ (а также стороне $BC$).
Так как $AD \parallel FE$, прямая $FE$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $AD$ не лежит в этой плоскости, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $AD$ параллельна плоскости $\alpha$.
Ответ: прямая $AD$ параллельна плоскости $\alpha$.

5.9. Точки $M$ и $K$ – середины соответственно сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$. Точка $D$ не принадлежит плоскости $ABC$. Докажите, что $MK \parallel ADC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи, точки $M$ и $K$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ соответственно.

Согласно определению, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией. Следовательно, отрезок $MK$ является средней линией треугольника $ABC$.

По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне этого треугольника. В данном случае, средняя линия $MK$ параллельна стороне $AC$. Запишем это в виде соотношения: $MK \parallel AC$.

Рассмотрим плоскость $ADC$. Эта плоскость определена тремя точками $A$, $D$ и $C$. Прямая $AC$ целиком лежит в плоскости $ADC$, так как обе точки $A$ и $C$, через которые она проходит, принадлежат этой плоскости.

Теперь применим признак параллельности прямой и плоскости. Он гласит: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

В нашем случае:

• Прямая $MK$ не лежит в плоскости $ADC$. Это так, потому что прямая $MK$ лежит в плоскости $ABC$, а точка $D$ не принадлежит плоскости $ABC$, следовательно, плоскости $ABC$ и $ADC$ не совпадают и пересекаются по прямой $AC$. Так как $MK \parallel AC$, прямая $MK$ не может лежать в плоскости $ADC$.
• Прямая $MK$ параллельна прямой $AC$ ($MK \parallel AC$), как было доказано ранее.
• Прямая $AC$ лежит в плоскости $ADC$.

На основании этих трех пунктов, согласно признаку параллельности прямой и плоскости, мы можем заключить, что прямая $MK$ параллельна плоскости $ADC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

5.10. Точки $E$ и $F$ – середины соответственно боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$. Прямая $EF$ лежит в плоскости $\alpha$, отличной от плоскости трапеции. Докажите, что прямые $AD$ и $BC$ параллельны плоскости $\alpha$.

По условию, $ABCD$ — трапеция, а точки $E$ и $F$ — середины ее боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Следовательно, отрезок $EF$ является средней линией трапеции $ABCD$.

Согласно свойству средней линии трапеции, она параллельна основаниям. Таким образом, $EF \parallel AD$ и $EF \parallel BC$.

В задаче дано, что прямая $EF$ лежит в плоскости $\alpha$ (то есть $EF \subset \alpha$), а плоскость трапеции (обозначим ее $\beta$) не совпадает с плоскостью $\alpha$ (то есть $\beta \neq \alpha$).

Докажем, что прямая $AD$ параллельна плоскости $\alpha$, используя признак параллельности прямой и плоскости. Для этого нужно убедиться, что прямая $AD$ не лежит в плоскости $\alpha$ и параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости. Мы знаем, что $AD \parallel EF$ и $EF \subset \alpha$. Остается показать, что $AD$ не лежит в $\alpha$. Предположим обратное: пусть $AD \subset \alpha$. Тогда две параллельные прямые $AD$ и $EF$ лежат в плоскости $\alpha$. Но эти же прямые лежат и в плоскости трапеции $\beta$. Так как две параллельные прямые однозначно задают плоскость, то плоскости $\alpha$ и $\beta$ должны совпадать. Это противоречит условию $\beta \neq \alpha$. Следовательно, наше предположение неверно, и $AD \not\subset \alpha$. Поскольку прямая $AD$ не лежит в плоскости $\alpha$ и параллельна прямой $EF$, лежащей в этой плоскости, то $AD \parallel \alpha$.

Аналогичные рассуждения проведем для прямой $BC$. Мы знаем, что $BC \parallel EF$ и $EF \subset \alpha$. Прямая $BC$ не лежит в плоскости $\alpha$, так как она принадлежит плоскости трапеции $\beta$, которая не совпадает с $\alpha$. Следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости, $BC \parallel \alpha$.

Таким образом, мы доказали, что прямые $AD$ и $BC$ параллельны плоскости $\alpha$.

Ответ: Утверждение доказано.

5.11. Отрезки $BC$ и $AD$ – основания трапеции $ABCD$. Треугольник $BMC$ и трапеция $ABCD$ не лежат в одной плоскости (рис. 5.15). Точка $E$ – середина отрезка $BM$, точка $F$ – середина отрезка $CM$. Докажите, что $EF \parallel AD$.

Рис. 5.14

Рис. 5.15

Рассмотрим треугольник $BMC$. По условию, точка $E$ является серединой стороны $BM$, а точка $F$ — серединой стороны $CM$. По определению, отрезок $EF$ является средней линией треугольника $BMC$.

Согласно свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне. Следовательно, $EF \parallel BC$.

По условию, $ABCD$ — трапеция с основаниями $BC$ и $AD$. По определению трапеции, её основания параллельны, то есть $BC \parallel AD$.

Таким образом, мы имеем два утверждения: $EF \parallel BC$ и $BC \parallel AD$. Согласно теореме о двух прямых, параллельных третьей (свойство транзитивности параллельности), из этих соотношений следует, что $EF \parallel AD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

5.12. Параллелограммы $ABCD$ и $AMKD$ не лежат в одной плоскости (рис. 5.16). Докажите, что четырёхугольник $BMKC$ – параллелограмм.

Рис. 5.16

По условию задачи, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом. По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны параллельны и равны. Следовательно, для сторон $BC$ и $AD$ выполняется:
$BC \parallel AD$ и $BC = AD$.

Также по условию, $AMKD$ является параллелограммом. Аналогично, для его противолежащих сторон $MK$ и $AD$ выполняется:
$MK \parallel AD$ и $MK = AD$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $BMKC$. Сравним его противолежащие стороны $BC$ и $MK$.
Поскольку $BC \parallel AD$ и $MK \parallel AD$, то по теореме о двух прямых, параллельных третьей, следует, что $BC \parallel MK$.
Поскольку $BC = AD$ и $MK = AD$, то по свойству транзитивности равенства длин отрезков, следует, что $BC = MK$.

Таким образом, в четырехугольнике $BMKC$ две противолежащие стороны ($BC$ и $MK$) одновременно и параллельны, и равны. Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.
Следовательно, $BMKC$ — параллелограмм, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что четырехугольник $BMKC$ — параллелограмм.

5.13. Плоскость $\alpha$, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $A_1$ и $C_1$ соответственно (рис. 5.17). Найдите отрезок $A_1C_1$, если $AC = 18$ см и $AA_1 : A_1B = 7 : 5$.

Рис. 5.17

Рассмотрим плоскость треугольника $ABC$. Прямая $A_1C_1$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости треугольника $ABC$. Поскольку по условию плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AC$ (которая лежит в плоскости $ABC$), то по свойству параллельности прямой и плоскости, линия их пересечения $A_1C_1$ будет параллельна прямой $AC$.

Таким образом, $A_1C_1 \parallel AC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle A_1BC_1$ и $\triangle ABC$.Поскольку $A_1C_1 \parallel AC$, эти треугольники подобны по двум углам:
1. $\angle B$ — общий.
2. $\angle BA_1C_1 = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $A_1C_1$, $AC$ и секущей $AB$.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно (коэффициент подобия $k$):

$k = \frac{A_1B}{AB} = \frac{C_1B}{CB} = \frac{A_1C_1}{AC}$

Из условия известно, что $AA_1 : A_1B = 7 : 5$. Пусть $A_1B = 5x$ и $AA_1 = 7x$ для некоторого коэффициента пропорциональности $x$. Тогда длина всей стороны $AB$ равна сумме её частей:

$AB = AA_1 + A_1B = 7x + 5x = 12x$.

Найдем коэффициент подобия, который равен отношению сторон $A_1B$ и $AB$:

$k = \frac{A_1B}{AB} = \frac{5x}{12x} = \frac{5}{12}$

Теперь, используя пропорцию и известную длину $AC = 18$ см, найдем длину $A_1C_1$:

$\frac{A_1C_1}{AC} = k$

$\frac{A_1C_1}{18} = \frac{5}{12}$

$A_1C_1 = 18 \cdot \frac{5}{12} = \frac{90}{12} = \frac{15}{2} = 7.5$ см.

Ответ: 7,5 см.