Страница 47 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.14. Плоскость $\alpha$, параллельная стороне $AB$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AC$ и $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите отношение $AE : EC$, если $CF : CB = 8 : 11$.

Поскольку плоскость $\alpha$ параллельна стороне $AB$ треугольника $ABC$, она пересекает плоскость треугольника по прямой $EF$, параллельной стороне $AB$. Таким образом, $EF \parallel AB$.

Рассмотрим треугольники $\triangle EFC$ и $\triangle ABC$.

Угол $\angle C$ у этих треугольников общий. Угол $\angle CFE$ равен углу $\angle CBA$ как соответственные углы при параллельных прямых $EF$ и $AB$ и секущей $BC$.

Следовательно, треугольник $\triangle EFC$ подобен треугольнику $\triangle ABC$ по двум углам. Из подобия треугольников следует, что их стороны пропорциональны:

$\frac{CE}{CA} = \frac{CF}{CB} = \frac{EF}{AB}$

По условию задачи дано отношение $CF : CB = 9 : 11$, то есть $\frac{CF}{CB} = \frac{9}{11}$.

Из пропорциональности сторон подобных треугольников следует, что:

$\frac{CE}{CA} = \frac{CF}{CB} = \frac{9}{11}$

Сторона $CA$ представляет собой сумму отрезков $AE$ и $EC$, то есть $CA = AE + EC$. Подставим это выражение в пропорцию:

$\frac{EC}{AE + EC} = \frac{9}{11}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$11 \cdot EC = 9 \cdot (AE + EC)$

$11 \cdot EC = 9 \cdot AE + 9 \cdot EC$

Перенесем слагаемые, содержащие $EC$, в одну часть уравнения:

$11 \cdot EC - 9 \cdot EC = 9 \cdot AE$

$2 \cdot EC = 9 \cdot AE$

Из этого равенства найдем искомое отношение $AE : EC$. Для этого разделим обе части равенства на $EC$ и на $9$:

$\frac{AE}{EC} = \frac{2}{9}$

Таким образом, $AE : EC = 2 : 9$.

Ответ: $2:9$

5.15. Вершины A и C треугольника ABC принадлежат плоскости $ \alpha $, а вершина B не принадлежит этой плоскости. На сторонах AB и BC отмечены соответственно точки E и F так, что $ BA : BE = BC : BF $. Докажите, что прямая EF параллельна плоскости $ \alpha $.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $EBF$. По условию задачи дано соотношение $BA : BE = BC : BF$, которое можно записать в виде пропорции $\frac{BA}{BE} = \frac{BC}{BF}$.

В треугольниках $ABC$ и $EBF$ угол $\angle B$ является общим. Стороны, прилежащие к этому углу, пропорциональны, что следует из условия: $\frac{BE}{BA} = \frac{BF}{BC}$. Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), треугольник $EBF$ подобен треугольнику $ABC$ ($ΔEBF \sim ΔABC$).

Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов: $\angle BEF = \angle BAC$. Эти углы являются соответственными при прямых $EF$ и $AC$ и секущей $AB$. Так как соответственные углы равны, то прямые $EF$ и $AC$ параллельны ($EF \parallel AC$).

По условию, вершины $A$ и $C$ принадлежат плоскости $\alpha$. Это означает, что прямая $AC$, проходящая через эти две точки, целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($AC \subset \alpha$).

Воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Мы доказали, что $EF \parallel AC$, и мы знаем, что $AC \subset \alpha$. Прямая $EF$ не лежит в плоскости $\alpha$, так как если бы она лежала, то точки $E$ и $F$ находились бы в плоскости $\alpha$. Но точка $E$ лежит на отрезке $AB$, а $F$ на $BC$. Если бы $E$ и $A$ лежали в $\alpha$, то вся прямая $AB$ лежала бы в $\alpha$, а значит и точка $B$ лежала бы в $\alpha$, что противоречит условию. Следовательно, прямая $EF$ не лежит в плоскости $\alpha$.

Таким образом, все условия признака параллельности прямой и плоскости выполнены, и прямая $EF$ параллельна плоскости $\alpha$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ параллельно прямой $AC$ и пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Докажите, что точка $K$ – середина стороны $BC$. Найдите площадь четырёхугольника $AMKC$, если площадь треугольника $ABC$ равна $28\ см^2$.

Докажите, что точка K – середина стороны BC.

Рассмотрим плоскость треугольника $ABC$. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ на стороне $AB$ и пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Прямая $MK$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости треугольника $ABC$.

Из условия задачи известно, что плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AC$. Прямая $AC$ лежит в плоскости треугольника $ABC$. Согласно теореме о линии пересечения двух плоскостей, одна из которых параллельна некоторой прямой: если плоскость ($\alpha$), параллельная прямой ($AC$), пересекает плоскость, содержащую эту прямую (плоскость $ABC$), то линия их пересечения ($MK$) параллельна данной прямой ($AC$). Следовательно, $MK \parallel AC$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$ в его плоскости. В нём проведена прямая $MK$, которая параллельна стороне $AC$ и пересекает сторону $AB$ в точке $M$. По условию, точка $M$ является серединой стороны $AB$. По теореме Фалеса (или по свойству, обратному теореме о средней линии треугольника), если прямая, проходящая через середину одной стороны треугольника, параллельна второй стороне, то она пересекает третью сторону в её середине.

Таким образом, точка $K$ является серединой стороны $BC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что точка $K$ – середина стороны $BC$.

Найдите площадь четырехугольника AMKC, если площадь треугольника ABC равна 28 см².

Из доказанного в предыдущем пункте следует, что $M$ – середина $AB$ и $K$ – середина $BC$. Значит, отрезок $MK$ является средней линией треугольника $ABC$.

Средняя линия $MK$ отсекает от треугольника $ABC$ треугольник $MBK$. Треугольник $MBK$ подобен треугольнику $ABC$, так как угол $B$ у них общий, а углы $\angle BMK$ и $\angle BAC$ равны как соответственные при параллельных прямых $MK$ и $AC$ и секущей $AB$. Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответственных сторон:

$k = \frac{BM}{BA}$

Поскольку $M$ – середина $AB$, то $BM = \frac{1}{2}AB$. Следовательно, коэффициент подобия $k = \frac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{\triangle MBK}}{S_{\triangle ABC}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Площадь треугольника $ABC$ дана по условию: $S_{\triangle ABC} = 28$ см². Найдем площадь треугольника $MBK$:

$S_{\triangle MBK} = \frac{1}{4} S_{\triangle ABC} = \frac{1}{4} \cdot 28 = 7$ см².

Четырехугольник $AMKC$ является частью треугольника $ABC$. Его площадь можно найти как разность площадей треугольника $ABC$ и треугольника $MBK$:

$S_{AMKC} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle MBK} = 28 - 7 = 21$ см².

Ответ: 21 см².

5.17. На ребре $CC_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили точку $M$ (рис. 5.18). Постройте линию пересечения плоскостей:

1) $ADM$ и $BB_1C_1$;

2) $AA_1M$ и $DCC_1$.

Рис. 5.18

1) ADM и BB₁C₁

Для построения линии пересечения плоскостей $ADM$ и $BB_1C_1$ (плоскость грани $BB_1C_1C$) воспользуемся свойством пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью.

1. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ противоположные грани лежат в параллельных плоскостях. Значит, плоскость грани $ADD_1A_1$ параллельна плоскости грани $BCC_1B_1$.

2. Плоскость $ADM$ является секущей для этих двух параллельных плоскостей.

3. Согласно свойству, если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны.

4. Плоскость $ADM$ пересекает плоскость грани $ADD_1A_1$ по прямой $AD$ (так как точки $A$ и $D$ лежат в обеих плоскостях).

5. Следовательно, линия пересечения плоскости $ADM$ с плоскостью грани $BCC_1B_1$ (которую мы ищем) должна быть параллельна прямой $AD$.

6. Теперь найдем хотя бы одну общую точку для плоскостей $ADM$ и $BB_1C_1$. По условию, точка $M$ лежит на ребре $CC_1$. Ребро $CC_1$ является частью грани $BCC_1B_1$, поэтому точка $M$ принадлежит плоскости $BB_1C_1$. По определению, точка $M$ также принадлежит плоскости $ADM$. Таким образом, $M$ — это общая точка двух плоскостей, и она лежит на линии их пересечения.

7. Итак, искомая линия пересечения проходит через точку $M$ и параллельна прямой $AD$.

Для построения этой линии в плоскости $BCC_1B_1$ через точку $M$ проводим прямую, параллельную $AD$. Поскольку в параллелепипеде $AD \parallel BC$, эта прямая будет также параллельна $BC$. Пусть она пересекает ребро $BB_1$ в точке $K$. Искомая линия пересечения — это прямая $MK$.

Ответ: Прямая, проходящая через точку $M$ параллельно прямой $AD$.

2) AA₁M и DCC₁

Необходимо построить линию пересечения плоскости $AA_1M$ (проходящей через прямую $AA_1$ и точку $M$) и плоскости $DCC_1$ (плоскости грани $DCC_1D_1$).

1. Найдем общие точки или прямые для этих двух плоскостей.

2. По условию, точка $M$ находится на ребре $CC_1$. Ребро $CC_1$ принадлежит грани $DCC_1D_1$, поэтому точка $M$ лежит в плоскости $DCC_1$. По построению, точка $M$ также лежит в плоскости $AA_1M$. Следовательно, $M$ — это общая точка двух плоскостей.

3. Рассмотрим прямую $CC_1$. Она целиком лежит в плоскости грани $DCC_1D_1$.

4. Проверим, лежит ли прямая $CC_1$ в плоскости $AA_1M$. В прямоугольном параллелепипеде боковые ребра параллельны, значит $AA_1 \parallel CC_1$. Две параллельные прямые однозначно задают плоскость. В данном случае это плоскость диагонального сечения $AA_1C_1C$.

5. Поскольку точка $M$ лежит на прямой $CC_1$, то все три точки $A$, $A_1$, $M$ лежат в плоскости $AA_1C_1C$. Это означает, что плоскость $AA_1M$ совпадает с плоскостью диагонального сечения $AA_1C_1C$.

6. Задача сводится к нахождению линии пересечения плоскости сечения $AA_1C_1C$ и плоскости грани $DCC_1D_1$. Эти две плоскости проходят через общую прямую $CC_1$.

7. Следовательно, прямая $CC_1$ и является линией их пересечения.

Ответ: Прямая $CC_1$.

5.18. На ребре $A_1B_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили точку $K$ (рис. 5.19). Постройте линию пересечения плоскостей:

1) $CC_1K$ и $ABB_1$;

2) $CDK$ и $ABB_1$.

Рис. 5.19

1) $CC_1K$ и $ABB_1$

Плоскость $ABB_1$ совпадает с плоскостью грани $ABB_1A_1$. Рассмотрим прямую $CC_1$, которая принадлежит плоскости $CC_1K$. В прямоугольном параллелепипеде боковые ребра параллельны, поэтому $CC_1 \parallel BB_1$. Прямая $BB_1$ лежит в плоскости $ABB_1$. Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Таким образом, прямая $CC_1$ параллельна плоскости $ABB_1$.

Плоскость $CC_1K$ проходит через прямую $CC_1$, параллельную плоскости $ABB_1$, и пересекает эту плоскость. Следовательно, линия их пересечения будет параллельна прямой $CC_1$.

Теперь найдем общую точку плоскостей $CC_1K$ и $ABB_1$. По условию, точка $K$ лежит на ребре $A_1B_1$. Ребро $A_1B_1$ принадлежит грани $ABB_1A_1$, поэтому точка $K$ принадлежит плоскости $ABB_1$. По определению, точка $K$ также принадлежит плоскости $CC_1K$. Следовательно, $K$ — общая точка двух плоскостей, и она лежит на искомой линии пересечения.

Таким образом, линия пересечения плоскостей $CC_1K$ и $ABB_1$ проходит через точку $K$ и параллельна прямой $CC_1$. Поскольку в параллелепипеде $CC_1 \parallel AA_1$, то искомая линия пересечения — это прямая, проходящая через точку $K$ параллельно ребру $AA_1$.

Ответ: Прямая, проходящая через точку $K$ параллельно прямой $AA_1$.

2) $CDK$ и $ABB_1$

Плоскость $ABB_1$ — это плоскость грани $ABB_1A_1$. Прямая $CD$ принадлежит плоскости $CDK$. В прямоугольном параллелепипеде противолежащие грани $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$ параллельны. Так как прямая $CD$ лежит в плоскости $DCC_1D_1$, а плоскость $DCC_1D_1$ параллельна плоскости $ABB_1$, то прямая $CD$ параллельна плоскости $ABB_1$.

Плоскость $CDK$ проходит через прямую $CD$, параллельную плоскости $ABB_1$, и пересекает эту плоскость. Следовательно, линия их пересечения параллельна прямой $CD$.

Общей точкой двух плоскостей является точка $K$. Она принадлежит ребру $A_1B_1$ (и, следовательно, плоскости $ABB_1$) и одновременно является одной из точек, задающих плоскость $CDK$.

Таким образом, линия пересечения плоскостей $CDK$ и $ABB_1$ — это прямая, которая проходит через точку $K$ и параллельна прямой $CD$. В параллелепипеде ребра оснований параллельны: $CD \parallel AB$ и $AB \parallel A_1B_1$, откуда $CD \parallel A_1B_1$. Поскольку точка $K$ лежит на прямой $A_1B_1$, а сама прямая $A_1B_1$ параллельна прямой $CD$, то искомая линия пересечения совпадает с прямой $A_1B_1$.

Ответ: Прямая $A_1B_1$.

5.19. Точка $M$ – середина ребра $DC$ тетраэдра $DABC$ (рис. 5.20). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку $M$ и параллельной прямым $AD$ и $BD$. Вычислите площадь сечения, если каждое ребро тетраэдра равно $a$.

Рис. 5.18

Рис. 5.19

Рис. 5.20

Построение сечения

Обозначим секущую плоскость как $\alpha$.

1. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ и параллельна прямой $AD$. Плоскость грани $ADC$ содержит прямую $AD$. Следовательно, линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $ADC$ должна быть параллельна $AD$. Проведем в плоскости $ADC$ через точку $M$ прямую, параллельную $AD$. Пусть эта прямая пересекает ребро $AC$ в точке $N$. Так как $M$ — середина ребра $DC$ (по условию) и $MN \parallel AD$, то по теореме Фалеса (или по свойству средней линии треугольника) $MN$ является средней линией треугольника $ADC$. Следовательно, точка $N$ — середина ребра $AC$.

2. Аналогично, плоскость $\alpha$ параллельна прямой $BD$. Плоскость грани $BDC$ содержит прямую $BD$. Проведем в плоскости $BDC$ через точку $M$ прямую, параллельную $BD$. Пусть эта прямая пересекает ребро $BC$ в точке $P$. Так как $M$ — середина ребра $DC$ и $MP \parallel BD$, то $MP$ является средней линией треугольника $BDC$. Следовательно, точка $P$ — середина ребра $BC$.

3. Соединим точки $N$ и $P$. Отрезок $NP$ принадлежит плоскости сечения $\alpha$ и плоскости основания $ABC$.

Таким образом, искомое сечение — это треугольник $MNP$.

Ответ: Искомое сечение — это треугольник $MNP$, где $N$ — середина ребра $AC$, а $P$ — середина ребра $BC$.

Вычисление площади сечения

По условию, все ребра тетраэдра равны $a$. Это означает, что тетраэдр $DABC$ является правильным, и все его грани — равносторонние треугольники со стороной $a$.

Найдем длины сторон треугольника $MNP$:

1. Отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ADC$. Следовательно, его длина равна половине длины стороны $AD$:
$MN = \frac{1}{2} AD = \frac{a}{2}$.

2. Отрезок $MP$ является средней линией треугольника $BDC$. Следовательно, его длина равна половине длины стороны $BD$:
$MP = \frac{1}{2} BD = \frac{a}{2}$.

3. Точки $N$ и $P$ являются серединами сторон $AC$ и $BC$ соответственно. Следовательно, отрезок $NP$ является средней линией треугольника $ABC$. Его длина равна половине длины стороны $AB$:
$NP = \frac{1}{2} AB = \frac{a}{2}$.

Так как все стороны треугольника $MNP$ равны ($MN = MP = NP = \frac{a}{2}$), то этот треугольник является равносторонним.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле: $S = \frac{s^2 \sqrt{3}}{4}$.

Подставим в формулу длину стороны нашего сечения $s = \frac{a}{2}$:
$S_{MNP} = \frac{(\frac{a}{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{a^2}{4} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{16}$.

Ответ: $\frac{a^2 \sqrt{3}}{16}$.