Номер 18, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 18, страница 47.

Условие.

5.18. На ребре $A_1B_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили точку $K$ (рис. 5.19). Постройте линию пересечения плоскостей:

1) $CC_1K$ и $ABB_1$;

2) $CDK$ и $ABB_1$.

Рис. 5.19

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $CC_1K$ и $ABB_1$

Плоскость $ABB_1$ совпадает с плоскостью грани $ABB_1A_1$. Рассмотрим прямую $CC_1$, которая принадлежит плоскости $CC_1K$. В прямоугольном параллелепипеде боковые ребра параллельны, поэтому $CC_1 \parallel BB_1$. Прямая $BB_1$ лежит в плоскости $ABB_1$. Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Таким образом, прямая $CC_1$ параллельна плоскости $ABB_1$.

Плоскость $CC_1K$ проходит через прямую $CC_1$, параллельную плоскости $ABB_1$, и пересекает эту плоскость. Следовательно, линия их пересечения будет параллельна прямой $CC_1$.

Теперь найдем общую точку плоскостей $CC_1K$ и $ABB_1$. По условию, точка $K$ лежит на ребре $A_1B_1$. Ребро $A_1B_1$ принадлежит грани $ABB_1A_1$, поэтому точка $K$ принадлежит плоскости $ABB_1$. По определению, точка $K$ также принадлежит плоскости $CC_1K$. Следовательно, $K$ — общая точка двух плоскостей, и она лежит на искомой линии пересечения.

Таким образом, линия пересечения плоскостей $CC_1K$ и $ABB_1$ проходит через точку $K$ и параллельна прямой $CC_1$. Поскольку в параллелепипеде $CC_1 \parallel AA_1$, то искомая линия пересечения — это прямая, проходящая через точку $K$ параллельно ребру $AA_1$.

Ответ: Прямая, проходящая через точку $K$ параллельно прямой $AA_1$.

2) $CDK$ и $ABB_1$

Плоскость $ABB_1$ — это плоскость грани $ABB_1A_1$. Прямая $CD$ принадлежит плоскости $CDK$. В прямоугольном параллелепипеде противолежащие грани $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$ параллельны. Так как прямая $CD$ лежит в плоскости $DCC_1D_1$, а плоскость $DCC_1D_1$ параллельна плоскости $ABB_1$, то прямая $CD$ параллельна плоскости $ABB_1$.

Плоскость $CDK$ проходит через прямую $CD$, параллельную плоскости $ABB_1$, и пересекает эту плоскость. Следовательно, линия их пересечения параллельна прямой $CD$.

Общей точкой двух плоскостей является точка $K$. Она принадлежит ребру $A_1B_1$ (и, следовательно, плоскости $ABB_1$) и одновременно является одной из точек, задающих плоскость $CDK$.

Таким образом, линия пересечения плоскостей $CDK$ и $ABB_1$ — это прямая, которая проходит через точку $K$ и параллельна прямой $CD$. В параллелепипеде ребра оснований параллельны: $CD \parallel AB$ и $AB \parallel A_1B_1$, откуда $CD \parallel A_1B_1$. Поскольку точка $K$ лежит на прямой $A_1B_1$, а сама прямая $A_1B_1$ параллельна прямой $CD$, то искомая линия пересечения совпадает с прямой $A_1B_1$.

Ответ: Прямая $A_1B_1$.