Номер 16, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 16, страница 47.

Условие.

5.16. Точка $M$ – середина стороны $AB$ треугольника $ABC$.

Плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ параллельно прямой $AC$ и пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Докажите, что точка $K$ – середина стороны $BC$. Найдите площадь четырёхугольника $AMKC$, если площадь треугольника $ABC$ равна $28\ см^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Докажите, что точка K – середина стороны BC.

Рассмотрим плоскость треугольника $ABC$. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ на стороне $AB$ и пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Прямая $MK$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости треугольника $ABC$.

Из условия задачи известно, что плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AC$. Прямая $AC$ лежит в плоскости треугольника $ABC$. Согласно теореме о линии пересечения двух плоскостей, одна из которых параллельна некоторой прямой: если плоскость ($\alpha$), параллельная прямой ($AC$), пересекает плоскость, содержащую эту прямую (плоскость $ABC$), то линия их пересечения ($MK$) параллельна данной прямой ($AC$). Следовательно, $MK \parallel AC$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$ в его плоскости. В нём проведена прямая $MK$, которая параллельна стороне $AC$ и пересекает сторону $AB$ в точке $M$. По условию, точка $M$ является серединой стороны $AB$. По теореме Фалеса (или по свойству, обратному теореме о средней линии треугольника), если прямая, проходящая через середину одной стороны треугольника, параллельна второй стороне, то она пересекает третью сторону в её середине.

Таким образом, точка $K$ является серединой стороны $BC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что точка $K$ – середина стороны $BC$.

Найдите площадь четырехугольника AMKC, если площадь треугольника ABC равна 28 см².

Из доказанного в предыдущем пункте следует, что $M$ – середина $AB$ и $K$ – середина $BC$. Значит, отрезок $MK$ является средней линией треугольника $ABC$.

Средняя линия $MK$ отсекает от треугольника $ABC$ треугольник $MBK$. Треугольник $MBK$ подобен треугольнику $ABC$, так как угол $B$ у них общий, а углы $\angle BMK$ и $\angle BAC$ равны как соответственные при параллельных прямых $MK$ и $AC$ и секущей $AB$. Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответственных сторон:

$k = \frac{BM}{BA}$

Поскольку $M$ – середина $AB$, то $BM = \frac{1}{2}AB$. Следовательно, коэффициент подобия $k = \frac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{\triangle MBK}}{S_{\triangle ABC}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Площадь треугольника $ABC$ дана по условию: $S_{\triangle ABC} = 28$ см². Найдем площадь треугольника $MBK$:

$S_{\triangle MBK} = \frac{1}{4} S_{\triangle ABC} = \frac{1}{4} \cdot 28 = 7$ см².

Четырехугольник $AMKC$ является частью треугольника $ABC$. Его площадь можно найти как разность площадей треугольника $ABC$ и треугольника $MBK$:

$S_{AMKC} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle MBK} = 28 - 7 = 21$ см².

Ответ: 21 см².