Номер 3, страница 30 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Метод сечений. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 3, страница 30.

Условие.

3. На рёбрах $AA_1$ и $BB_1$ треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ отметили соответственно точки $X$ и $Y$ так, что $AX : XA_1 = BY : YB_1$. Докажите, что прямая пересечения плоскостей $XYC_1$ и $ABC$ параллельна прямой $AB$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Точки $X$ и $Y$ лежат на ребрах $AA_1$ и $BB_1$ соответственно, причем выполняется соотношение $AX : XA_1 = BY : YB_1$. Обозначим плоскость сечения $XYC_1$ как $\alpha$, а плоскость основания призмы $ABC$ как $\beta$. Пусть $l$ — прямая пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Требуется доказать, что прямая $l$ параллельна прямой $AB$.

Рассмотрим боковую грань $ABB_1A_1$. Так как $ABCA_1B_1C_1$ является призмой, эта грань — параллелограмм. Следовательно, боковые ребра $AA_1$ и $BB_1$ параллельны и равны: $AA_1 \parallel BB_1$ и $AA_1 = BB_1$.

Из условия $AX : XA_1 = BY : YB_1$ следует, что точки $X$ и $Y$ делят отрезки $AA_1$ и $BB_1$ в одинаковом отношении. Пусть это отношение равно $k$. Тогда можно записать:$AX = k \cdot XA_1$ и $BY = k \cdot YB_1$.Выразим длины отрезков $AX$ и $BY$ через длину ребра.$AA_1 = AX + XA_1 = k \cdot XA_1 + XA_1 = (k+1)XA_1 \Rightarrow AX = \frac{k}{k+1}AA_1$.Аналогично, $BY = \frac{k}{k+1}BB_1$.Поскольку $AA_1 = BB_1$, то и $AX = BY$.

Рассмотрим векторы. Вектор $\vec{XY}$ можно представить в виде суммы векторов: $\vec{XY} = \vec{XA} + \vec{AB} + \vec{BY}$.Векторы $\vec{AX}$ и $\vec{BY}$ коллинеарны, так как лежат на параллельных прямых $AA_1$ и $BB_1$. Они сонаправлены (направлены от нижнего основания к верхнему) и их длины равны ($AX=BY$). Следовательно, векторы равны: $\vec{AX} = \vec{BY}$.Тогда $\vec{XA} = -\vec{AX} = -\vec{BY}$.Подставим это в выражение для вектора $\vec{XY}$:$\vec{XY} = (-\vec{BY}) + \vec{AB} + \vec{BY} = \vec{AB}$.Равенство векторов $\vec{XY} = \vec{AB}$ означает, что прямая $XY$ параллельна прямой $AB$ и отрезок $XY$ равен отрезку $AB$.

Теперь рассмотрим пересечение плоскостей. Плоскость верхнего основания $A_1B_1C_1$ параллельна плоскости нижнего основания $ABC$. Обозначим плоскость $A_1B_1C_1$ как $\gamma$.Плоскость сечения $\alpha$ ($XYC_1$) пересекает две параллельные плоскости $\beta$ ($ABC$) и $\gamma$ ($A_1B_1C_1$). Линией пересечения $\alpha$ и $\beta$ является прямая $l$. Пусть линией пересечения $\alpha$ и $\gamma$ является прямая $l_1$. По свойству параллельных плоскостей, линии их пересечения с третьей плоскостью параллельны, то есть $l \parallel l_1$.

Найдем направление прямой $l_1$. Прямая $l_1$ — это линия пересечения плоскостей $XYC_1$ и $A_1B_1C_1$.Прямая $XY$ лежит в плоскости $XYC_1$. Прямая $A_1B_1$ лежит в плоскости $A_1B_1C_1$.Как мы доказали ранее, $XY \parallel AB$. По свойству призмы, $AB \parallel A_1B_1$. Следовательно, по свойству транзитивности, $XY \parallel A_1B_1$.Так как прямая $XY$ параллельна прямой $A_1B_1$, лежащей в плоскости $A_1B_1C_1$, то прямая $XY$ параллельна плоскости $A_1B_1C_1$.Плоскость $XYC_1$ проходит через прямую $XY$, параллельную плоскости $A_1B_1C_1$, и пересекает эту плоскость. Следовательно, линия их пересечения $l_1$ параллельна прямой $XY$.

Таким образом, мы установили следующую цепочку параллельностей:1. $l \parallel l_1$ (как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей).2. $l_1 \parallel XY$ (так как плоскость $XYC_1$ пересекает плоскость $A_1B_1C_1$, которой параллельна прямая $XY$).3. $XY \parallel AB$ (доказано из условия задачи).Из этого следует, что $l \parallel AB$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.