Номер 29, страница 26 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Пространственные фигуры. Начальные представления о многогранниках. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 29, страница 26.

Условие.

3.29. Точки $M$, $N$ и $K$ принадлежат соответственно граням $ADB$, $BDC$ и $CDA$ тетраэдра $DABC$ (рис. 3.42). Постройте сечение тетраэдра плоскостью $MNK$.

Рис. 3.42

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения сечения тетраэдра $DABC$ плоскостью $MNK$ воспользуемся методом следов. Суть метода заключается в построении линии пересечения (следа) секущей плоскости с плоскостью одной из граней тетраэдра (например, с плоскостью основания $ABC$), а затем, используя этот след, найти точки пересечения секущей плоскости с ребрами тетраэдра.

1. Построение следа секущей плоскости $(MNK)$ на плоскости основания $(ABC)$.

   Для построения прямой (следа) нам необходимо найти две точки, принадлежащие одновременно и секущей плоскости $(MNK)$, и плоскости основания $(ABC)$.

   а) Найдем точку $P_1$ — точку пересечения прямой $MN$ с плоскостью $(ABC)$.
   Точка $M$ лежит в плоскости грани $(ADB)$, а точка $N$ — в плоскости грани $(BDC)$. Чтобы найти точку пересечения прямой $MN$ с плоскостью $(ABC)$, воспользуемся вспомогательной плоскостью. Проведем прямые $DM$ и $DN$ до их пересечения с прямыми $AB$ и $BC$ соответственно. Пусть $DM \cap AB = M_1$ и $DN \cap BC = N_1$. Точки $M_1$ и $N_1$ лежат в плоскости основания $(ABC)$, следовательно, прямая $M_1N_1$ также лежит в этой плоскости. Прямые $MN$ и $M_1N_1$ лежат в одной вспомогательной плоскости $(DM_1N_1)$, значит, они пересекаются. Точка их пересечения $P_1 = MN \cap M_1N_1$ будет принадлежать прямой $MN$ (и секущей плоскости $(MNK)$) и прямой $M_1N_1$ (и плоскости основания $(ABC)$). Таким образом, $P_1$ — первая точка следа.

   б) Найдем точку $P_2$ — точку пересечения прямой $NK$ с плоскостью $(ABC)$.
   Аналогично, точка $N \in (BDC)$, а точка $K \in (CDA)$. Проведем прямые $DN$ и $DK$ до их пересечения с прямыми $BC$ и $CA$. Точку $N_1 = DN \cap BC$ мы уже построили. Пусть $DK \cap CA = K_1$. Прямые $NK$ и $N_1K_1$ лежат в одной вспомогательной плоскости $(DK_1N_1)$ и пересекаются. Точка их пересечения $P_2 = NK \cap N_1K_1$ принадлежит секущей плоскости $(MNK)$ и плоскости основания $(ABC)$. Таким образом, $P_2$ — вторая точка следа.

   в) Проведем прямую $P_1P_2$. Эта прямая является следом секущей плоскости $(MNK)$ на плоскости основания $(ABC)$.

2. Построение вершин и сторон сечения.

   Вершины многоугольника сечения — это точки, в которых секущая плоскость пересекает ребра тетраэдра.

   а) След $P_1P_2$ пересекает стороны треугольника $ABC$ или их продолжения. Найдем точки пересечения следа с ребрами, лежащими в основании. В зависимости от расположения точек $M, N, K$, след может пересекать разные стороны. Допустим, прямая $P_1P_2$ пересекает ребро $AC$ в точке $E$ и ребро $BC$ в точке $F$. Тогда отрезок $EF$ — это одна из сторон искомого сечения.

   б) Теперь найдем остальные вершины сечения. Точка $E$ лежит на ребре $AC$, а точка $K$ — в грани $(ADC)$. Обе эти точки ($E$ и $K$) принадлежат секущей плоскости. Значит, прямая $EK$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $(ADC)$. Проведем прямую $EK$. Она пересечет одно из ребер грани $(ADC)$, например, ребро $AD$ в точке $G$. Отрезок $EG$ — еще одна сторона сечения.

   в) Аналогично, точка $F$ лежит на ребре $BC$, а точка $N$ — в грани $(BDC)$. Обе точки ($F$ и $N$) принадлежат секущей плоскости. Проведем прямую $FN$, которая является линией пересечения секущей плоскости с гранью $(BDC)$. Эта прямая пересечет одно из ребер этой грани, например, ребро $BD$ в точке $H$. Отрезок $FH$ — третья сторона сечения.

   г) Мы получили точки $G$ на ребре $AD$ и $H$ на ребре $BD$. Обе эти точки лежат в плоскости грани $(ADB)$, так же как и исходная точка $M$. Поскольку все три точки ($G, M, H$) принадлежат и секущей плоскости $(MNK)$, и плоскости грани $(ADB)$, они должны лежать на одной прямой. Соединив точки $G$ и $H$, мы получим четвертую сторону сечения $GH$, причем эта прямая должна пройти через точку $M$.

В результате последовательного соединения найденных на ребрах тетраэдра точек $E, F, H, G$ мы получаем многоугольник, который является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — многоугольник $EFHG$, вершины которого лежат на ребрах $AC, BC, BD, AD$ тетраэдра соответственно, и который строится согласно описанному выше алгоритму.