Номер 22, страница 25 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Пространственные фигуры. Начальные представления о многогранниках. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 22, страница 25.

Условие.

3.22. На рёбрах $AB$, $BD$ и $CD$ тетраэдра $DABC$ отмечены соответственно точки $M$, $K$ и $N$ (рис. 3.36). Постройте сечение тетраэдра плоскостью $MNK$.

Рис. 3.36

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения сечения тетраэдра $DABC$ плоскостью, проходящей через точки $M, N, K$, необходимо последовательно найти линии пересечения (следы) этой плоскости с гранями тетраэдра. Будем использовать метод следов.

1. Построение сторон сечения в гранях $ABD$ и $BCD$.

   Точки $M$ и $K$ принадлежат одной грани $ABD$ (точка $M \in AB$, точка $K \in BD$). Следовательно, отрезок $MK$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $ABD$ и одной из сторон искомого сечения.

   Аналогично, точки $K$ и $N$ принадлежат одной грани $BCD$ (точка $K \in BD$, точка $N \in CD$). Соединив их, получим отрезок $KN$ — еще одну сторону сечения, являющуюся следом секущей плоскости на грани $BCD$.

2. Нахождение точки пересечения секущей плоскости с ребром $AC$.

   Для дальнейшего построения найдем след секущей плоскости на плоскости основания $ABC$. Для этого найдем еще одну точку, принадлежащую одновременно секущей плоскости и плоскости основания.

   Прямая $KN$ лежит в секущей плоскости $MNK$. Также она лежит в плоскости грани $BCD$. Плоскость грани $BCD$ пересекается с плоскостью основания $ABC$ по прямой $BC$. Значит, прямая $KN$ пересечет плоскость $ABC$ в той же точке, в которой она пересечет прямую $BC$.

   В плоскости грани $BCD$ построим точку $P$, являющуюся пересечением прямых $KN$ и $BC$. Для этого продолжим отрезок $KN$ и ребро $BC$ до их пересечения.

   $P = KN \cap BC$

   Точка $P$ принадлежит секущей плоскости (так как $P \in KN$) и плоскости основания $ABC$ (так как $P \in BC$). Точка $M$ также принадлежит обеим этим плоскостям. Следовательно, прямая $MP$ является следом (линией пересечения) секущей плоскости на плоскости основания $ABC$.

   Прямая $MP$ в плоскости основания $ABC$ пересекает ребро $AC$. Обозначим точку их пересечения буквой $L$.

   $L = MP \cap AC$

   Точка $L$ является четвертой вершиной искомого сечения, так как она принадлежит ребру тетраэдра $AC$ и секущей плоскости (поскольку $L \in MP$).

3. Завершение построения сечения.

   Теперь известны все вершины сечения: $M, K, N, L$. Последовательно соединим их отрезками, чтобы получить замкнутый многоугольник.

   Точки $N$ и $L$ лежат в плоскости грани $ADC$ ($N \in CD, L \in AC$), поэтому соединяем их отрезком $NL$.

   Точки $L$ и $M$ лежат в плоскости грани $ABC$ ($L \in AC, M \in AB$), поэтому соединяем их отрезком $LM$.

   В результате построен четырехугольник $MKNL$, который и является искомым сечением тетраэдра плоскостью $MNK$.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $MKNL$, где точка $L$ является точкой пересечения ребра $AC$ с прямой, проходящей через точку $M$ и точку $P$ (где $P$ — точка пересечения прямых $KN$ и $BC$).