Номер 17, страница 24 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Пространственные фигуры. Начальные представления о многогранниках. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 17, страница 24.

Условие.

3.17. Дана пирамида $MABCD$, точка $K$ принадлежит отрезку $BD$ (рис. 3.31). Постройте линию пересечения плоскостей $MCK$ и $MAB$.

Рис. 3.31

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, необходимо найти две общие точки, которые принадлежат обеим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет искомой линией пересечения. В данном случае мы ищем линию пересечения плоскостей $(MCK)$ и $(MAB)$.

Шаг 1: Нахождение первой общей точки.

Точка $M$ является вершиной пирамиды. По определению, она принадлежит как плоскости грани $MAB$, так и плоскости $MCK$, поскольку она указана в их обозначениях. Следовательно, точка $M$ — это первая общая точка двух плоскостей.

Шаг 2: Нахождение второй общей точки.

Вторую общую точку найдём как точку пересечения двух прямых, одна из которых лежит в плоскости $(MCK)$, а другая — в плоскости $(MAB)$. Чтобы прямые пересекались, они должны лежать в одной плоскости.

Рассмотрим прямые $CK$ и $AB$. Прямая $CK$ полностью лежит в плоскости $(MCK)$, так как обе точки $C$ и $K$ принадлежат этой плоскости. Прямая $AB$ полностью лежит в плоскости $(MAB)$, так как обе точки $A$ и $B$ принадлежат этой плоскости.

Обе эти прямые ($CK$ и $AB$) также лежат в плоскости основания пирамиды $(ABCD)$. Поскольку они лежат в одной плоскости и в общем случае не параллельны, они должны пересечься в некоторой точке.

Для построения этой точки необходимо продлить отрезки $CK$ и $AB$ до их пересечения. Обозначим полученную точку буквой $P$.

Точка $P$ является второй общей точкой для искомых плоскостей, так как она одновременно принадлежит обеим прямым:
1. Поскольку $P \in AB$, а прямая $AB \subset (MAB)$, то точка $P$ принадлежит плоскости $(MAB)$.
2. Поскольку $P \in CK$, а прямая $CK \subset (MCK)$, то точка $P$ принадлежит плоскости $(MCK)$.

Шаг 3: Построение линии пересечения.

Мы нашли две общие точки для плоскостей $(MCK)$ и $(MAB)$: это точки $M$ и $P$. Согласно аксиоме стереометрии, через две различные точки проходит единственная прямая. Проведя прямую через точки $M$ и $P$, мы получим искомую линию пересечения.

Ответ: Линией пересечения плоскостей $MCK$ и $MAB$ является прямая $MP$, где $P$ — точка пересечения прямых $CK$ и $AB$.