Номер 20, страница 24 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Пространственные фигуры. Начальные представления о многогранниках. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 20, страница 24.

Условие.

3.20. На рёбрах $AA_1$ и $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечены соответственно точки $E$ и $F$ (рис. 3.34). Постройте сечение куба плоскостью $EB_1F$.

Рис. 3.34

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения сечения куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки $E$, $B_1$ и $F$, выполним следующие действия:

Шаг 1. Соединение точек, лежащих в одной грани.

Точки $E$ и $B_1$ принадлежат плоскости одной грани $AA_1B_1B$. Соединим их, получив отрезок $EB_1$, который является одной из сторон искомого сечения. Аналогично, точки $B_1$ и $F$ принадлежат плоскости грани $BB_1C_1C$. Соединив их, получаем вторую сторону сечения — отрезок $B_1F$.

Шаг 2. Использование свойства параллельности граней.

Противоположные грани куба $AA_1D_1D$ и $BB_1C_1C$ параллельны. Согласно свойству, секущая плоскость пересекает две параллельные плоскости по параллельным прямым. Нам уже известна линия пересечения секущей плоскости с гранью $BB_1C_1C$ — это прямая $B_1F$. Следовательно, линия пересечения с параллельной гранью $AA_1D_1D$ должна быть параллельна прямой $B_1F$.

Шаг 3. Построение третьей вершины сечения.

Линия пересечения секущей плоскости с гранью $AA_1D_1D$ должна проходить через точку $E$, так как точка $E$ принадлежит как секущей плоскости, так и грани $AA_1D_1D$. Таким образом, в плоскости грани $AA_1D_1D$ проведем прямую через точку $E$ параллельно прямой $B_1F$. Точку пересечения этой прямой с ребром $DD_1$ обозначим буквой $G$. Отрезок $EG$ является третьей стороной сечения.

Шаг 4. Завершение построения.

Мы нашли четыре вершины сечения: $E$, $B_1$, $F$ и $G$. Точки $F$ и $G$ лежат в плоскости одной грани $DD_1C_1C$. Соединим их отрезком $FG$, получая четвертую, замыкающую сторону сечения. Полученный четырехугольник $EB_1FG$ и является искомым сечением куба.

По построению $EG \parallel B_1F$. Так как грани $AA_1B_1B$ и $DD_1C_1C$ также параллельны, то и отрезки сечения на них будут параллельны: $EB_1 \parallel FG$. Следовательно, построенное сечение $EB_1FG$ является параллелограммом.

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник $EB_1FG$, где точка $G$ — это точка на ребре $DD_1$ такая, что прямая $EG$ параллельна прямой $B_1F$.