Номер 24, страница 25 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Пространственные фигуры. Начальные представления о многогранниках. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 24, страница 25.

Условие.

3.24. На рёбрах $AC$ и $BD$ тетраэдра $DABC$ отметили соответственно точки $E$ и $F$, а на ребре $CD$ — точки $M$ и $K$ так, что точка $K$ лежит между точками $C$ и $M$ (рис. 3.38). Постройте линию пересечения плоскостей $ABM$ и $EFK$.

Рис. 3.36

Рис. 3.37

Рис. 3.38

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения линии пересечения двух плоскостей, $(ABM)$ и $(EFK)$, необходимо найти две общие точки, которые принадлежат обеим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет искомой линией пересечения.

1. Нахождение первой общей точки.
Рассмотрим плоскость грани $ADC$. В этой плоскости лежат две прямые:

• Прямая $AM$, так как точки $A$ и $M$ принадлежат этой плоскости ($M \in CD$). Прямая $AM$ по определению принадлежит плоскости $(ABM)$.
• Прямая $EK$, так как точки $E$ и $K$ принадлежат этой плоскости ($E \in AC$, $K \in CD$). Прямая $EK$ по определению принадлежит плоскости $(EFK)$.

Поскольку обе прямые, $AM$ и $EK$, лежат в одной плоскости $(ADC)$, они пересекаются в некоторой точке $P$ (в общем случае, если они не параллельны).
Точка $P = AM \cap EK$.
Так как $P \in AM$ и $AM \subset (ABM)$, то точка $P$ принадлежит плоскости $(ABM)$.
Так как $P \in EK$ и $EK \subset (EFK)$, то точка $P$ принадлежит плоскости $(EFK)$.
Следовательно, точка $P$ является первой общей точкой двух плоскостей.

2. Нахождение второй общей точки.
Рассмотрим плоскость грани $BCD$. В этой плоскости лежат две прямые:

• Прямая $BM$, так как точки $B$ и $M$ принадлежат этой плоскости ($M \in CD$). Прямая $BM$ по определению принадлежит плоскости $(ABM)$.
• Прямая $FK$, так как точки $F$ и $K$ принадлежат этой плоскости ($F \in BD$, $K \in CD$). Прямая $FK$ по определению принадлежит плоскости $(EFK)$.

Поскольку обе прямые, $BM$ и $FK$, лежат в одной плоскости $(BCD)$, они пересекаются в некоторой точке $Q$ (в общем случае).
Точка $Q = BM \cap FK$.
Так как $Q \in BM$ и $BM \subset (ABM)$, то точка $Q$ принадлежит плоскости $(ABM)$.
Так как $Q \in FK$ и $FK \subset (EFK)$, то точка $Q$ принадлежит плоскости $(EFK)$.
Следовательно, точка $Q$ является второй общей точкой двух плоскостей.

3. Построение линии пересечения.
Мы нашли две точки $P$ и $Q$, которые принадлежат обеим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, является линией их пересечения.

Ответ: Искомая линия пересечения плоскостей $(ABM)$ и $(EFK)$ — это прямая $PQ$, где $P$ — точка пересечения прямых $AM$ и $EK$, а $Q$ — точка пересечения прямых $BM$ и $FK$.