Страница 25 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.22. На рёбрах $AB$, $BD$ и $CD$ тетраэдра $DABC$ отмечены соответственно точки $M$, $K$ и $N$ (рис. 3.36). Постройте сечение тетраэдра плоскостью $MNK$.

Рис. 3.36

Для построения сечения тетраэдра $DABC$ плоскостью, проходящей через точки $M, N, K$, необходимо последовательно найти линии пересечения (следы) этой плоскости с гранями тетраэдра. Будем использовать метод следов.

1. Построение сторон сечения в гранях $ABD$ и $BCD$.

   Точки $M$ и $K$ принадлежат одной грани $ABD$ (точка $M \in AB$, точка $K \in BD$). Следовательно, отрезок $MK$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $ABD$ и одной из сторон искомого сечения.

   Аналогично, точки $K$ и $N$ принадлежат одной грани $BCD$ (точка $K \in BD$, точка $N \in CD$). Соединив их, получим отрезок $KN$ — еще одну сторону сечения, являющуюся следом секущей плоскости на грани $BCD$.

2. Нахождение точки пересечения секущей плоскости с ребром $AC$.

   Для дальнейшего построения найдем след секущей плоскости на плоскости основания $ABC$. Для этого найдем еще одну точку, принадлежащую одновременно секущей плоскости и плоскости основания.

   Прямая $KN$ лежит в секущей плоскости $MNK$. Также она лежит в плоскости грани $BCD$. Плоскость грани $BCD$ пересекается с плоскостью основания $ABC$ по прямой $BC$. Значит, прямая $KN$ пересечет плоскость $ABC$ в той же точке, в которой она пересечет прямую $BC$.

   В плоскости грани $BCD$ построим точку $P$, являющуюся пересечением прямых $KN$ и $BC$. Для этого продолжим отрезок $KN$ и ребро $BC$ до их пересечения.

   $P = KN \cap BC$

   Точка $P$ принадлежит секущей плоскости (так как $P \in KN$) и плоскости основания $ABC$ (так как $P \in BC$). Точка $M$ также принадлежит обеим этим плоскостям. Следовательно, прямая $MP$ является следом (линией пересечения) секущей плоскости на плоскости основания $ABC$.

   Прямая $MP$ в плоскости основания $ABC$ пересекает ребро $AC$. Обозначим точку их пересечения буквой $L$.

   $L = MP \cap AC$

   Точка $L$ является четвертой вершиной искомого сечения, так как она принадлежит ребру тетраэдра $AC$ и секущей плоскости (поскольку $L \in MP$).

3. Завершение построения сечения.

   Теперь известны все вершины сечения: $M, K, N, L$. Последовательно соединим их отрезками, чтобы получить замкнутый многоугольник.

   Точки $N$ и $L$ лежат в плоскости грани $ADC$ ($N \in CD, L \in AC$), поэтому соединяем их отрезком $NL$.

   Точки $L$ и $M$ лежат в плоскости грани $ABC$ ($L \in AC, M \in AB$), поэтому соединяем их отрезком $LM$.

   В результате построен четырехугольник $MKNL$, который и является искомым сечением тетраэдра плоскостью $MNK$.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $MKNL$, где точка $L$ является точкой пересечения ребра $AC$ с прямой, проходящей через точку $M$ и точку $P$ (где $P$ — точка пересечения прямых $KN$ и $BC$).

3.23. На рёбрах $AB$, $BC$ и $CD$ тетраэдра $DABC$ отмечены соответственно точки $M$, $K$ и $N$ (рис. 3.37). Постройте сечение тетраэдра плоскостью $MNK$.

Рис. 3.37

Для построения сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через точки M, N, K, необходимо найти точки пересечения этой плоскости с ребрами тетраэдра и соединить их отрезками, лежащими в одних гранях. Построение выполняется в несколько шагов.

1. Построение отрезков сечения в гранях ABC и DBC

Точки M и K принадлежат ребрам AB и BC соответственно, которые лежат в плоскости грани ABC. Следовательно, отрезок MK является линией пересечения секущей плоскости с гранью ABC и одной из сторон искомого сечения.

Аналогично, точки K и N принадлежат ребрам BC и CD соответственно, которые лежат в плоскости грани DBC. Следовательно, отрезок KN является линией пересечения секущей плоскости с гранью DBC и также является стороной искомого сечения.

2. Нахождение следа секущей плоскости на плоскости грани ADC (метод следов)

Чтобы найти остальные стороны сечения, нужно определить точки его пересечения с ребрами AD и AC. Для этого воспользуемся методом следов. Найдем точку пересечения прямой MK, лежащей в секущей плоскости, с прямой AC. Обе эти прямые лежат в одной плоскости ABC. Продлим отрезок MK и ребро AC до их пересечения в точке E.

$E = MK \cap AC$

Точка E принадлежит прямой MK, а значит, и секущей плоскости MNK. В то же время, точка E лежит на прямой AC, а значит, принадлежит плоскости грани ADC.

3. Нахождение четвертой вершины сечения

Теперь у нас есть две точки, которые одновременно лежат и в секущей плоскости, и в плоскости грани ADC: это точка N (по условию) и построенная точка E. Прямая NE является следом секущей плоскости на плоскости ADC.

Эта прямая NE пересекает ребро AD в некоторой точке. Обозначим эту точку P. Так как и прямая NE, и ребро AD лежат в плоскости грани ADC, они пересекаются.

$P = NE \cap AD$

Точка P является четвертой вершиной искомого сечения.

4. Завершение построения сечения

Мы нашли все четыре вершины сечения: M, K, N и P. Соединим последовательно точки P и M (обе лежат в грани ABD) и точки P и N (обе лежат в грани ADC). В результате получаем четырехугольник MKNP, который и является искомым сечением тетраэдра плоскостью MNK.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник MKNP, где точка P — это точка пересечения ребра AD с прямой, проходящей через точку N и точку E, которая, в свою очередь, является точкой пересечения прямых MK и AC.

3.24. На рёбрах $AC$ и $BD$ тетраэдра $DABC$ отметили соответственно точки $E$ и $F$, а на ребре $CD$ — точки $M$ и $K$ так, что точка $K$ лежит между точками $C$ и $M$ (рис. 3.38). Постройте линию пересечения плоскостей $ABM$ и $EFK$.

Рис. 3.36

Рис. 3.37

Рис. 3.38

Для построения линии пересечения двух плоскостей, $(ABM)$ и $(EFK)$, необходимо найти две общие точки, которые принадлежат обеим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет искомой линией пересечения.

1. Нахождение первой общей точки.
Рассмотрим плоскость грани $ADC$. В этой плоскости лежат две прямые:

• Прямая $AM$, так как точки $A$ и $M$ принадлежат этой плоскости ($M \in CD$). Прямая $AM$ по определению принадлежит плоскости $(ABM)$.
• Прямая $EK$, так как точки $E$ и $K$ принадлежат этой плоскости ($E \in AC$, $K \in CD$). Прямая $EK$ по определению принадлежит плоскости $(EFK)$.

Поскольку обе прямые, $AM$ и $EK$, лежат в одной плоскости $(ADC)$, они пересекаются в некоторой точке $P$ (в общем случае, если они не параллельны).
Точка $P = AM \cap EK$.
Так как $P \in AM$ и $AM \subset (ABM)$, то точка $P$ принадлежит плоскости $(ABM)$.
Так как $P \in EK$ и $EK \subset (EFK)$, то точка $P$ принадлежит плоскости $(EFK)$.
Следовательно, точка $P$ является первой общей точкой двух плоскостей.

2. Нахождение второй общей точки.
Рассмотрим плоскость грани $BCD$. В этой плоскости лежат две прямые:

• Прямая $BM$, так как точки $B$ и $M$ принадлежат этой плоскости ($M \in CD$). Прямая $BM$ по определению принадлежит плоскости $(ABM)$.
• Прямая $FK$, так как точки $F$ и $K$ принадлежат этой плоскости ($F \in BD$, $K \in CD$). Прямая $FK$ по определению принадлежит плоскости $(EFK)$.

Поскольку обе прямые, $BM$ и $FK$, лежат в одной плоскости $(BCD)$, они пересекаются в некоторой точке $Q$ (в общем случае).
Точка $Q = BM \cap FK$.
Так как $Q \in BM$ и $BM \subset (ABM)$, то точка $Q$ принадлежит плоскости $(ABM)$.
Так как $Q \in FK$ и $FK \subset (EFK)$, то точка $Q$ принадлежит плоскости $(EFK)$.
Следовательно, точка $Q$ является второй общей точкой двух плоскостей.

3. Построение линии пересечения.
Мы нашли две точки $P$ и $Q$, которые принадлежат обеим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, является линией их пересечения.

Ответ: Искомая линия пересечения плоскостей $(ABM)$ и $(EFK)$ — это прямая $PQ$, где $P$ — точка пересечения прямых $AM$ и $EK$, а $Q$ — точка пересечения прямых $BM$ и $FK$.

3.25. На боковых рёбрах $MB$ и $MC$ пирамиды $MABCD$ отметили соответственно точки $E$ и $F$ (рис. 3.39). Постройте линию пересечения плоскостей $AEC$ и $BDF$.

Рис. 3.39

Для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет искомой линией пересечения.

1. Нахождение первой общей точки

Плоскость $AEC$ содержит прямую $AC$, а плоскость $BDF$ содержит прямую $BD$. Обе эти прямые лежат в плоскости основания пирамиды $ABCD$. Найдем точку их пересечения. Обозначим эту точку как $O$.

$O = AC \cap BD$

Поскольку точка $O$ принадлежит прямой $AC$, то она принадлежит и плоскости $(AEC)$.

Поскольку точка $O$ принадлежит прямой $BD$, то она принадлежит и плоскости $(BDF)$.

Следовательно, точка $O$ — это первая общая точка плоскостей $(AEC)$ и $(BDF)$.

2. Нахождение второй общей точки

Рассмотрим боковую грань $MBC$. Точки $E$ и $F$ лежат на ребрах $MB$ и $MC$ этой грани. Прямая $EC$ принадлежит плоскости $(AEC)$, так как точки $E$ и $C$ принадлежат этой плоскости. Прямая $BF$ принадлежит плоскости $(BDF)$, так как точки $B$ и $F$ принадлежат этой плоскости. Обе прямые, $EC$ и $BF$, лежат в плоскости грани $(MBC)$. Найдем точку их пересечения. Обозначим эту точку как $K$.

$K = EC \cap BF$

Поскольку точка $K$ принадлежит прямой $EC$, то она принадлежит и плоскости $(AEC)$.

Поскольку точка $K$ принадлежит прямой $BF$, то она принадлежит и плоскости $(BDF)$.

Следовательно, точка $K$ — это вторая общая точка плоскостей $(AEC)$ и $(BDF)$.

3. Построение линии пересечения

Так как мы нашли две общие точки $O$ и $K$ для плоскостей $(AEC)$ и $(BDF)$, то линия пересечения этих плоскостей — это прямая, проходящая через эти две точки.

Соединяем точки $O$ и $K$ и получаем искомую прямую $OK$.

Ответ: Искомая линия пересечения плоскостей $AEC$ и $BDF$ — это прямая $OK$, где $O$ — точка пересечения прямых $AC$ и $BD$, а $K$ — точка пересечения прямых $EC$ и $BF$.

3.26. Дана пирамида $MABCD$ (рис. 3.40). На боковых рёбрах $MB$ и $MC$ отметили соответственно точки $E$ и $F$, а на продолжении ребра $MA$ за точку $A$ – точку $K$. Постройте сечение пирамиды плоскостью $EFK$.

Рис. 3.40

Для построения сечения пирамиды $MABCD$ плоскостью $(EFK)$ необходимо найти линии пересечения секущей плоскости с гранями пирамиды. Эти линии в совокупности образуют многоугольник, который и является искомым сечением.

Построение сечения выполняется в несколько шагов:

1. Построение сторон сечения в гранях MAB и MBC

Точки $E$ и $F$ по условию лежат на ребрах $MB$ и $MC$ соответственно. Так как оба ребра принадлежат грани $(MBC)$, то отрезок $EF$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $(MBC)$ и, следовательно, стороной искомого сечения.

Точки $E$ и $K$ лежат в плоскости грани $(MAB)$ (точка $E$ лежит на ребре $MB$, а точка $K$ — на продолжении ребра $MA$). Прямая $EK$ является линией пересечения секущей плоскости $(EFK)$ с плоскостью грани $(MAB)$. Найдем точку пересечения прямой $EK$ с ребром основания $AB$. Обозначим эту точку как $P$. Таким образом, $P = EK \cap AB$. Точка $P$ является вершиной сечения, а отрезок $EP$ — стороной сечения, лежащей в грани $(MAB)$.

2. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания ABCD

След плоскости — это прямая, по которой она пересекается с другой плоскостью. Нам нужно найти след секущей плоскости $(EFK)$ на плоскости основания $(ABCD)$. Для построения прямой необходимо найти две точки, принадлежащие ей.

Одна такая точка уже найдена — это точка $P$, так как она лежит на ребре $AB$, которое принадлежит плоскости основания. $P \in (EFK)$ и $P \in (ABCD)$.

Для нахождения второй точки найдем пересечение прямой $EF$ (лежащей в секущей плоскости) с плоскостью основания. Прямая $EF$ лежит в плоскости грани $(MBC)$. Плоскость $(MBC)$ пересекает плоскость основания $(ABCD)$ по прямой $BC$. Следовательно, точка пересечения прямой $EF$ с плоскостью основания будет лежать на прямой $BC$. Продлим отрезки $EF$ и $BC$ до их пересечения в точке $X$. Точка $X$ является второй точкой следа, так как $X \in EF \subset (EFK)$ и $X \in BC \subset (ABCD)$.

Прямая $PX$ является следом секущей плоскости на плоскости основания.

3. Завершение построения сечения

След $PX$ лежит в плоскости основания. Найдем точки пересечения этого следа с ребрами четырехугольника $ABCD$. Одна точка, $P$, лежит на $AB$. Проведем прямую $PX$ и найдем ее точку пересечения с ребром $CD$. Обозначим эту точку $R$. Точка $R$ является еще одной вершиной сечения. Отрезок $PR$ — это сторона сечения, лежащая на основании пирамиды.

Теперь у нас есть вершины $P, E, F, R$. Соединим точки $F$ и $R$. Обе эти точки лежат в плоскости грани $(MCD)$ (поскольку $F \in MC$ и $R \in CD$). Следовательно, отрезок $FR$ является стороной сечения, лежащей в грани $(MCD)$.

В результате мы получили замкнутый четырехугольник $PEFR$, все вершины которого лежат на ребрах пирамиды, а стороны — на ее гранях. Этот четырехугольник и есть искомое сечение.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $PEFR$, где точка $P$ — это пересечение прямой $EK$ с ребром $AB$, а точка $R$ — это пересечение ребра $CD$ со следом секущей плоскости на основании (прямой, проходящей через точку $P$ и точку пересечения прямых $EF$ и $BC$).

3.27. На ребре $CC_1$ призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечена точка $E$ (рис. 3.41). Постройте сечение призмы плоскостью $BA_1E$.

Рис. 3.39
Рис. 3.40
Рис. 3.41

Для построения сечения призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки $B$, $A_1$ и $E$, необходимо последовательно найти линии пересечения секущей плоскости с гранями призмы. Построение выполняется в несколько шагов:

1. Построение отрезков сечения на известных гранях. Точки $B$ и $A_1$ принадлежат плоскости грани $ABB_1A_1$, поэтому отрезок $BA_1$ является стороной искомого сечения. Аналогично, точки $B$ и $E$ принадлежат плоскости грани $BCC_1B_1$, поэтому отрезок $BE$ также является стороной сечения.
2. Нахождение следа секущей плоскости на плоскости верхнего основания. Для дальнейшего построения воспользуемся методом следов. Найдем линию пересечения (след) секущей плоскости $(BA_1E)$ с плоскостью верхнего основания $(A_1B_1C_1D_1)$. Одна точка, принадлежащая этой линии, уже известна — это точка $A_1$. Чтобы найти вторую точку, продлим прямую $BE$, лежащую в секущей плоскости, и прямую $B_1C_1$, лежащую в плоскости верхнего основания, до их пересечения. Так как обе прямые лежат в одной плоскости $(BCC_1B_1)$, они пересекутся. Обозначим точку их пересечения $F$. Эта точка принадлежит и секущей плоскости, и плоскости верхнего основания.
3. Построение стороны сечения на верхней грани. Прямая, проходящая через точки $A_1$ и $F$, является следом секущей плоскости на плоскости верхнего основания. Находим точку пересечения этой прямой с ребром $C_1D_1$ и обозначаем ее $G$. Отрезок $A_1G$ — третья сторона искомого сечения, лежащая на верхней грани призмы.
4. Завершение построения. Мы получили новую вершину сечения — точку $G$ на ребре $C_1D_1$. Соединяем ее с точкой $E$ на ребре $CC_1$. Обе точки лежат в плоскости грани $DCC_1D_1$, поэтому отрезок $GE$ является четвертой и последней стороной сечения. В результате последовательного соединения точек получается четырехугольник $BA_1GE$.

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник $BA_1GE$.