Страница 23 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.13. Точка $M$ принадлежит грани $ASB$ пирамиды $SABCD$, точка $K$ — грани $CSD$ (рис. 3.28). Постройте точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$.

Рис. 3.28

Для построения точки пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$ воспользуемся методом вспомогательных сечений. Мы построим вспомогательную плоскость, содержащую прямую $MK$, найдем линию ее пересечения с плоскостью $ABC$, и затем найдем точку пересечения исходной прямой $MK$ с этой линией.

Построение

1. В качестве вспомогательной плоскости, содержащей прямую $MK$, выберем плоскость, проходящую через вершину пирамиды $S$. Обозначим эту плоскость $\alpha = (SMK)$.

2. Найдем линию пересечения плоскости $\alpha = (SMK)$ с плоскостью основания $(ABC)$. Для этого найдем две общие точки этих плоскостей.

3. Точка $M$ принадлежит грани $(ASB)$, поэтому прямая $SM$ целиком лежит в плоскости грани $(ASB)$. Прямая $AB$ также лежит в этой плоскости. Проведем прямую $SM$ до пересечения с прямой $AB$ и обозначим точку их пересечения $M_1$. Точка $M_1$ принадлежит прямой $AB$, а значит, лежит в плоскости $(ABC)$. В то же время, точка $M_1$ принадлежит прямой $SM$, а значит, лежит в плоскости $(SMK)$. Следовательно, $M_1$ — одна из точек на линии пересечения плоскостей $(SMK)$ и $(ABC)$.

4. Аналогично, точка $K$ принадлежит грани $(CSD)$, поэтому прямая $SK$ целиком лежит в плоскости грани $(CSD)$. Прямая $CD$ также лежит в этой плоскости. Проведем прямую $SK$ до пересечения с прямой $CD$ и обозначим точку их пересечения $K_1$. Точка $K_1$ принадлежит прямой $CD$, а значит, лежит в плоскости $(ABC)$. В то же время, точка $K_1$ принадлежит прямой $SK$, а значит, лежит в плоскости $(SMK)$. Следовательно, $K_1$ — вторая точка на линии пересечения плоскостей.

5. Прямая $M_1K_1$ является линией пересечения плоскостей $(SMK)$ и $(ABC)$.

6. Искомая точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $(ABC)$ — это точка пересечения прямой $MK$ с найденной прямой $M_1K_1$. Обе прямые, $MK$ и $M_1K_1$, лежат в одной вспомогательной плоскости $(SMK)$, поэтому они пересекаются (в общем случае). Обозначим их точку пересечения $P$.

Доказательство

Точка $P$ является искомой точкой пересечения прямой $MK$ с плоскостью $(ABC)$, так как выполнены два условия:

• Точка $P$ принадлежит прямой $MK$ (по построению, как точка пересечения $MK$ и $M_1K_1$).

• Точка $P$ принадлежит плоскости $(ABC)$ (так как она лежит на прямой $M_1K_1$, которая полностью принадлежит плоскости $(ABC)$, поскольку две ее точки $M_1$ и $K_1$ лежат в этой плоскости).

Таким образом, $P = MK \cap (ABC)$.

Ответ: Искомая точка пересечения $P$ есть точка пересечения прямых $MK$ и $M_1K_1$, где $M_1$ — точка пересечения прямых $SM$ и $AB$, а $K_1$ — точка пересечения прямых $SK$ и $CD$.

3.14. Дана пирамида $SABCD$ (рис. 3.29). Постройте линию пересечения плоскостей $ASB$ и $CSD$.

Рис. 3.29

Для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо найти две их общие точки. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет являться искомой линией пересечения.

Рассмотрим плоскости $ASB$ и $CSD$.

1. Нахождение первой общей точки.Вершина пирамиды $S$ принадлежит как грани $ASB$, так и грани $CSD$. Следовательно, точка $S$ является общей точкой для плоскостей $ASB$ и $CSD$ и лежит на их линии пересечения.

2. Нахождение второй общей точки.Рассмотрим прямые $AB$ и $CD$, лежащие в плоскости основания пирамиды. Прямая $AB$ принадлежит плоскости $ASB$, а прямая $CD$ принадлежит плоскости $CSD$. Поскольку обе прямые лежат в одной плоскости (плоскости основания $ABCD$), они либо пересекаются, либо параллельны. В общем случае (как показано на рисунке), стороны $AB$ и $CD$ основания не параллельны.

Продлим прямые $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке, которую обозначим $P$.Так как точка $P$ лежит на прямой $AB$, она принадлежит и плоскости $ASB$.Так как точка $P$ лежит на прямой $CD$, она принадлежит и плоскости $CSD$.Следовательно, точка $P$ является второй общей точкой для плоскостей $ASB$ и $CSD$.

3. Построение линии пересечения.Мы нашли две общие точки, $S$ и $P$, принадлежащие обеим плоскостям. Через две точки проходит единственная прямая. Таким образом, линия пересечения плоскостей $ASB$ и $CSD$ — это прямая $SP$.

Алгоритм построения:
1. В плоскости основания пирамиды продлеваем стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $P$.
2. Соединяем вершину пирамиды $S$ с точкой $P$.
Прямая $SP$ является искомой линией пересечения.

Ответ: Линия пересечения плоскостей $ASB$ и $CSD$ — это прямая, проходящая через вершину пирамиды $S$ и точку пересечения прямых $AB$ и $CD$.