Номер 13, страница 23 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Пространственные фигуры. Начальные представления о многогранниках. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 13, страница 23.

Условие.

3.13. Точка $M$ принадлежит грани $ASB$ пирамиды $SABCD$, точка $K$ — грани $CSD$ (рис. 3.28). Постройте точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$.

Рис. 3.28

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения точки пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$ воспользуемся методом вспомогательных сечений. Мы построим вспомогательную плоскость, содержащую прямую $MK$, найдем линию ее пересечения с плоскостью $ABC$, и затем найдем точку пересечения исходной прямой $MK$ с этой линией.

Построение

1. В качестве вспомогательной плоскости, содержащей прямую $MK$, выберем плоскость, проходящую через вершину пирамиды $S$. Обозначим эту плоскость $\alpha = (SMK)$.

2. Найдем линию пересечения плоскости $\alpha = (SMK)$ с плоскостью основания $(ABC)$. Для этого найдем две общие точки этих плоскостей.

3. Точка $M$ принадлежит грани $(ASB)$, поэтому прямая $SM$ целиком лежит в плоскости грани $(ASB)$. Прямая $AB$ также лежит в этой плоскости. Проведем прямую $SM$ до пересечения с прямой $AB$ и обозначим точку их пересечения $M_1$. Точка $M_1$ принадлежит прямой $AB$, а значит, лежит в плоскости $(ABC)$. В то же время, точка $M_1$ принадлежит прямой $SM$, а значит, лежит в плоскости $(SMK)$. Следовательно, $M_1$ — одна из точек на линии пересечения плоскостей $(SMK)$ и $(ABC)$.

4. Аналогично, точка $K$ принадлежит грани $(CSD)$, поэтому прямая $SK$ целиком лежит в плоскости грани $(CSD)$. Прямая $CD$ также лежит в этой плоскости. Проведем прямую $SK$ до пересечения с прямой $CD$ и обозначим точку их пересечения $K_1$. Точка $K_1$ принадлежит прямой $CD$, а значит, лежит в плоскости $(ABC)$. В то же время, точка $K_1$ принадлежит прямой $SK$, а значит, лежит в плоскости $(SMK)$. Следовательно, $K_1$ — вторая точка на линии пересечения плоскостей.

5. Прямая $M_1K_1$ является линией пересечения плоскостей $(SMK)$ и $(ABC)$.

6. Искомая точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $(ABC)$ — это точка пересечения прямой $MK$ с найденной прямой $M_1K_1$. Обе прямые, $MK$ и $M_1K_1$, лежат в одной вспомогательной плоскости $(SMK)$, поэтому они пересекаются (в общем случае). Обозначим их точку пересечения $P$.

Доказательство

Точка $P$ является искомой точкой пересечения прямой $MK$ с плоскостью $(ABC)$, так как выполнены два условия:

• Точка $P$ принадлежит прямой $MK$ (по построению, как точка пересечения $MK$ и $M_1K_1$).

• Точка $P$ принадлежит плоскости $(ABC)$ (так как она лежит на прямой $M_1K_1$, которая полностью принадлежит плоскости $(ABC)$, поскольку две ее точки $M_1$ и $K_1$ лежат в этой плоскости).

Таким образом, $P = MK \cap (ABC)$.

Ответ: Искомая точка пересечения $P$ есть точка пересечения прямых $MK$ и $M_1K_1$, где $M_1$ — точка пересечения прямых $SM$ и $AB$, а $K_1$ — точка пересечения прямых $SK$ и $CD$.