Номер 14, страница 23 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Пространственные фигуры. Начальные представления о многогранниках. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 14, страница 23.

Условие.

3.14. Дана пирамида $SABCD$ (рис. 3.29). Постройте линию пересечения плоскостей $ASB$ и $CSD$.

Рис. 3.29

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо найти две их общие точки. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет являться искомой линией пересечения.

Рассмотрим плоскости $ASB$ и $CSD$.

1. Нахождение первой общей точки.Вершина пирамиды $S$ принадлежит как грани $ASB$, так и грани $CSD$. Следовательно, точка $S$ является общей точкой для плоскостей $ASB$ и $CSD$ и лежит на их линии пересечения.

2. Нахождение второй общей точки.Рассмотрим прямые $AB$ и $CD$, лежащие в плоскости основания пирамиды. Прямая $AB$ принадлежит плоскости $ASB$, а прямая $CD$ принадлежит плоскости $CSD$. Поскольку обе прямые лежат в одной плоскости (плоскости основания $ABCD$), они либо пересекаются, либо параллельны. В общем случае (как показано на рисунке), стороны $AB$ и $CD$ основания не параллельны.

Продлим прямые $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке, которую обозначим $P$.Так как точка $P$ лежит на прямой $AB$, она принадлежит и плоскости $ASB$.Так как точка $P$ лежит на прямой $CD$, она принадлежит и плоскости $CSD$.Следовательно, точка $P$ является второй общей точкой для плоскостей $ASB$ и $CSD$.

3. Построение линии пересечения.Мы нашли две общие точки, $S$ и $P$, принадлежащие обеим плоскостям. Через две точки проходит единственная прямая. Таким образом, линия пересечения плоскостей $ASB$ и $CSD$ — это прямая $SP$.

Алгоритм построения:
1. В плоскости основания пирамиды продлеваем стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $P$.
2. Соединяем вершину пирамиды $S$ с точкой $P$.
Прямая $SP$ является искомой линией пересечения.

Ответ: Линия пересечения плоскостей $ASB$ и $CSD$ — это прямая, проходящая через вершину пирамиды $S$ и точку пересечения прямых $AB$ и $CD$.