Номер 18, страница 24 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Пространственные фигуры. Начальные представления о многогранниках. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 18, страница 24.

Условие.

3.18. На рёбрах $AD$ и $CD$ пирамиды $SABCD$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ (рис. 3.32). Постройте линию пересечения плоскостей $BSC$ и $MSK$.

Рис. 3.30

Рис. 3.31

Рис. 3.32

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения линии пересечения двух плоскостей, $ (BSC) $ и $ (MSK) $, необходимо найти две общие точки, которые принадлежат обеим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, будет являться искомой линией пересечения.

1. Нахождение первой общей точки.
Плоскость $ (BSC) $ задана точками $S, B, C$. Плоскость $ (MSK) $ задана точками $M, S, K$. Точка $S$ является вершиной пирамиды и по определению принадлежит обеим плоскостям. Следовательно, $S$ — первая общая точка плоскостей $ (BSC) $ и $ (MSK) $.

2. Нахождение второй общей точки.
Для нахождения второй общей точки воспользуемся методом следов. Рассмотрим пересечение заданных плоскостей с плоскостью основания пирамиды $ (ABCD) $. Плоскость $ (BSC) $ пересекает плоскость основания $ (ABCD) $ по прямой $BC$. Плоскость $ (MSK) $ пересекает плоскость основания $ (ABCD) $ по прямой $MK$, так как точки $M$ (на ребре $AD$) и $K$ (на ребре $CD$) лежат в плоскости основания.

Прямые $BC$ и $MK$ обе лежат в одной плоскости — плоскости основания $ (ABCD) $. В общем случае эти прямые не параллельны, а значит, пересекаются. Построим точку их пересечения. Для этого в плоскости основания продолжим отрезки $BC$ и $MK$ до их пересечения в точке, которую обозначим $P$. Таким образом, $ P = BC \cap MK $.

Проанализируем принадлежность точки $P$ обеим плоскостям: Так как точка $P$ лежит на прямой $BC$, а прямая $BC$ целиком принадлежит плоскости $ (BSC) $, то точка $P$ также принадлежит плоскости $ (BSC) $. Аналогично, так как точка $P$ лежит на прямой $MK$, а прямая $MK$ целиком принадлежит плоскости $ (MSK) $, то точка $P$ также принадлежит плоскости $ (MSK) $. Следовательно, точка $P$ является второй общей точкой для плоскостей $ (BSC) $ и $ (MSK) $.

3. Построение линии пересечения.
Мы нашли две общие точки для заданных плоскостей: точку $S$ и точку $P$. Согласно аксиоме стереометрии, через две различные точки проходит единственная прямая. Эта прямая и является линией пересечения данных плоскостей.

Таким образом, искомая линия пересечения — это прямая $SP$.

Ответ: Линией пересечения плоскостей $BSC$ и $MSK$ является прямая $SP$, где $S$ — вершина пирамиды, а $P$ — точка пересечения прямых $BC$ и $MK$.