Номер 23, страница 25 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Пространственные фигуры. Начальные представления о многогранниках. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 23, страница 25.

Условие.

3.23. На рёбрах $AB$, $BC$ и $CD$ тетраэдра $DABC$ отмечены соответственно точки $M$, $K$ и $N$ (рис. 3.37). Постройте сечение тетраэдра плоскостью $MNK$.

Рис. 3.37

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через точки M, N, K, необходимо найти точки пересечения этой плоскости с ребрами тетраэдра и соединить их отрезками, лежащими в одних гранях. Построение выполняется в несколько шагов.

1. Построение отрезков сечения в гранях ABC и DBC

Точки M и K принадлежат ребрам AB и BC соответственно, которые лежат в плоскости грани ABC. Следовательно, отрезок MK является линией пересечения секущей плоскости с гранью ABC и одной из сторон искомого сечения.

Аналогично, точки K и N принадлежат ребрам BC и CD соответственно, которые лежат в плоскости грани DBC. Следовательно, отрезок KN является линией пересечения секущей плоскости с гранью DBC и также является стороной искомого сечения.

2. Нахождение следа секущей плоскости на плоскости грани ADC (метод следов)

Чтобы найти остальные стороны сечения, нужно определить точки его пересечения с ребрами AD и AC. Для этого воспользуемся методом следов. Найдем точку пересечения прямой MK, лежащей в секущей плоскости, с прямой AC. Обе эти прямые лежат в одной плоскости ABC. Продлим отрезок MK и ребро AC до их пересечения в точке E.

$E = MK \cap AC$

Точка E принадлежит прямой MK, а значит, и секущей плоскости MNK. В то же время, точка E лежит на прямой AC, а значит, принадлежит плоскости грани ADC.

3. Нахождение четвертой вершины сечения

Теперь у нас есть две точки, которые одновременно лежат и в секущей плоскости, и в плоскости грани ADC: это точка N (по условию) и построенная точка E. Прямая NE является следом секущей плоскости на плоскости ADC.

Эта прямая NE пересекает ребро AD в некоторой точке. Обозначим эту точку P. Так как и прямая NE, и ребро AD лежат в плоскости грани ADC, они пересекаются.

$P = NE \cap AD$

Точка P является четвертой вершиной искомого сечения.

4. Завершение построения сечения

Мы нашли все четыре вершины сечения: M, K, N и P. Соединим последовательно точки P и M (обе лежат в грани ABD) и точки P и N (обе лежат в грани ADC). В результате получаем четырехугольник MKNP, который и является искомым сечением тетраэдра плоскостью MNK.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник MKNP, где точка P — это точка пересечения ребра AD с прямой, проходящей через точку N и точку E, которая, в свою очередь, является точкой пересечения прямых MK и AC.