Номер 25, страница 25 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Пространственные фигуры. Начальные представления о многогранниках. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 25, страница 25.

Условие.

3.25. На боковых рёбрах $MB$ и $MC$ пирамиды $MABCD$ отметили соответственно точки $E$ и $F$ (рис. 3.39). Постройте линию пересечения плоскостей $AEC$ и $BDF$.

Рис. 3.39

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет искомой линией пересечения.

1. Нахождение первой общей точки

Плоскость $AEC$ содержит прямую $AC$, а плоскость $BDF$ содержит прямую $BD$. Обе эти прямые лежат в плоскости основания пирамиды $ABCD$. Найдем точку их пересечения. Обозначим эту точку как $O$.

$O = AC \cap BD$

Поскольку точка $O$ принадлежит прямой $AC$, то она принадлежит и плоскости $(AEC)$.

Поскольку точка $O$ принадлежит прямой $BD$, то она принадлежит и плоскости $(BDF)$.

Следовательно, точка $O$ — это первая общая точка плоскостей $(AEC)$ и $(BDF)$.

2. Нахождение второй общей точки

Рассмотрим боковую грань $MBC$. Точки $E$ и $F$ лежат на ребрах $MB$ и $MC$ этой грани. Прямая $EC$ принадлежит плоскости $(AEC)$, так как точки $E$ и $C$ принадлежат этой плоскости. Прямая $BF$ принадлежит плоскости $(BDF)$, так как точки $B$ и $F$ принадлежат этой плоскости. Обе прямые, $EC$ и $BF$, лежат в плоскости грани $(MBC)$. Найдем точку их пересечения. Обозначим эту точку как $K$.

$K = EC \cap BF$

Поскольку точка $K$ принадлежит прямой $EC$, то она принадлежит и плоскости $(AEC)$.

Поскольку точка $K$ принадлежит прямой $BF$, то она принадлежит и плоскости $(BDF)$.

Следовательно, точка $K$ — это вторая общая точка плоскостей $(AEC)$ и $(BDF)$.

3. Построение линии пересечения

Так как мы нашли две общие точки $O$ и $K$ для плоскостей $(AEC)$ и $(BDF)$, то линия пересечения этих плоскостей — это прямая, проходящая через эти две точки.

Соединяем точки $O$ и $K$ и получаем искомую прямую $OK$.

Ответ: Искомая линия пересечения плоскостей $AEC$ и $BDF$ — это прямая $OK$, где $O$ — точка пересечения прямых $AC$ и $BD$, а $K$ — точка пересечения прямых $EC$ и $BF$.