Номер 31, страница 26 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Пространственные фигуры. Начальные представления о многогранниках. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 31, страница 26.

Условие.

3.31. Диагональ равнобокой трапеции разбивает её на два равнобедренных треугольника. Найдите углы трапеции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ AC разбивает ее на два равнобедренных треугольника: $\Delta ABC$ и $\Delta ACD$.

Так как трапеция равнобокая, то $AB = CD$, а углы при основаниях равны: $\angle DAB = \angle CDA$ и $\angle ABC = \angle BCD$. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180°$, например, $\angle DAB + \angle ABC = 180°$.

Обозначим $\angle CAD = \alpha$. Поскольку основания трапеции параллельны ($AD \parallel BC$), то накрест лежащие углы при секущей AC равны: $\angle BCA = \angle CAD = \alpha$.

Рассмотрим все возможные случаи, исходя из того, какие стороны в треугольнике $\Delta ACD$ могут быть равны.

Случай 1: В $\Delta ACD$ равны стороны $AC = AD$.

Треугольник $\Delta ACD$ равнобедренный с основанием CD, поэтому углы при основании равны: $\angle ADC = \angle ACD = (180° - \alpha) / 2 = 90° - \alpha/2$.

Угол трапеции $\angle D = 90° - \alpha/2$. Так как трапеция равнобокая, $\angle A = \angle D = 90° - \alpha/2$.

С другой стороны, $\angle A = \angle BAC + \angle CAD = \angle BAC + \alpha$. Следовательно, $\angle BAC + \alpha = 90° - \alpha/2$, откуда $\angle BAC = 90° - 3\alpha/2$.

По условию, $\Delta ABC$ также равнобедренный. Найдем его углы:

• $\angle BCA = \alpha$
• $\angle BAC = 90° - 3\alpha/2$
• $\angle ABC = 180° - (\alpha + 90° - 3\alpha/2) = 90° + \alpha/2$

Поскольку $\Delta ABC$ равнобедренный, два его угла должны быть равны. Единственная непротиворечивая возможность — это $\angle BAC = \angle BCA$, так как равенство любых других пар углов приводит к невозможным значениям $\alpha$ (например, $\alpha=180°$ или $\alpha=0°$).

$90° - 3\alpha/2 = \alpha \Rightarrow 90° = 5\alpha/2 \Rightarrow \alpha = 36°$.

Найдем углы трапеции для этого значения $\alpha$:

Углы при большем основании: $\angle A = \angle D = 90° - 36°/2 = 72°$.

Углы при меньшем основании: $\angle B = \angle C = 180° - 72° = 108°$.

Случай 2: В $\Delta ACD$ равны стороны $AD = CD$.

Треугольник $\Delta ACD$ равнобедренный с основанием AC, поэтому $\angle CAD = \angle ACD = \alpha$. Третий угол $\angle ADC = 180° - 2\alpha$.

Угол трапеции $\angle D = 180° - 2\alpha$. Так как трапеция равнобокая, $\angle A = \angle D = 180° - 2\alpha$.

С другой стороны, $\angle A = \angle BAC + \angle CAD = \angle BAC + \alpha$. Следовательно, $\angle BAC = (180° - 2\alpha) - \alpha = 180° - 3\alpha$.

Теперь рассмотрим равнобедренный $\Delta ABC$. Его углы:

• $\angle BCA = \alpha$
• $\angle BAC = 180° - 3\alpha$
• $\angle ABC = 180° - (\alpha + 180° - 3\alpha) = 2\alpha$

Равенство двух из этих углов дает два возможных решения:

1. $\angle BAC = \angle BCA \Rightarrow 180° - 3\alpha = \alpha \Rightarrow 4\alpha = 180° \Rightarrow \alpha = 45°$.

При $\alpha = 45°$ углы трапеции равны:

$\angle A = \angle D = 180° - 2(45°) = 90°$.

$\angle B = \angle C = 180° - 90° = 90°$.

В этом случае трапеция является прямоугольником (в данном случае, квадратом), что удовлетворяет условию.

2. $\angle ABC = \angle BAC \Rightarrow 2\alpha = 180° - 3\alpha \Rightarrow 5\alpha = 180° \Rightarrow \alpha = 36°$.

При $\alpha = 36°$ углы трапеции равны:

$\angle A = \angle D = 180° - 2(36°) = 108°$.

$\angle B = \angle C = 180° - 108° = 72°$.

Это тот же набор углов, что и в первом случае.

Случай 3: В $\Delta ACD$ равны стороны $AC = CD$.

Углы, противолежащие этим сторонам, равны: $\angle ADC = \angle CAD$. Обозначим их $\alpha$.

Угол трапеции $\angle D = \alpha$. Так как трапеция равнобокая, $\angle A = \alpha$.

Но $\angle A = \angle BAC + \angle CAD = \angle BAC + \alpha$.

Получаем $\alpha = \angle BAC + \alpha$, что означает $\angle BAC = 0°$. Это невозможно, следовательно, этот случай не дает решений.

Таким образом, задача имеет два возможных набора решений для углов трапеции.

Ответ: Углы трапеции равны 72°, 72°, 108°, 108° или 90°, 90°, 90°, 90°.