Номер 2, страница 30 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Метод сечений. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 2, страница 30.

Условие.

2. Докажите, что середины рёбер $AB$, $BC$, $CC_1$, $C_1D_1$, $D_1A_1$ и $A_1A$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежат в одной плоскости.

Решение 1.

Решение 3.

Для доказательства того, что шесть заданных точек лежат в одной плоскости, воспользуемся методом координат.

Введём прямоугольную систему координат. Пусть вершина $A$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ совпадает с началом координат, а рёбра $AD$, $AB$ и $AA_1$ лежат на осях $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Для удобства вычислений примем длину ребра куба равной $2$. Тогда вершины куба будут иметь следующие координаты: $A(0, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$, $C(2, 2, 0)$, $D(2, 0, 0)$, $A_1(0, 0, 2)$, $B_1(0, 2, 2)$, $C_1(2, 2, 2)$, $D_1(2, 0, 2)$.

Теперь найдём координаты середин указанных в условии рёбер. Координаты середины отрезка равны полусуммам соответствующих координат его концов.
Пусть $K$ – середина ребра $AB$: $K = (\frac{0+0}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}) = (0, 1, 0)$.
Пусть $L$ – середина ребра $BC$: $L = (\frac{0+2}{2}, \frac{2+2}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1, 2, 0)$.
Пусть $M$ – середина ребра $CC_1$: $M = (\frac{2+2}{2}, \frac{2+2}{2}, \frac{0+2}{2}) = (2, 2, 1)$.
Пусть $N$ – середина ребра $C_1D_1$: $N = (\frac{2+2}{2}, \frac{2+0}{2}, \frac{2+2}{2}) = (2, 1, 2)$.
Пусть $P$ – середина ребра $D_1A_1$: $P = (\frac{2+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{2+2}{2}) = (1, 0, 2)$.
Пусть $Q$ – середина ребра $A_1A$: $Q = (\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{2+0}{2}) = (0, 0, 1)$.

Итак, мы получили координаты шести точек: $K(0, 1, 0)$, $L(1, 2, 0)$, $M(2, 2, 1)$, $N(2, 1, 2)$, $P(1, 0, 2)$, $Q(0, 0, 1)$.

Чтобы доказать, что эти точки лежат в одной плоскости, составим уравнение плоскости, проходящей через три из них (например, $K, L$ и $Q$), а затем проверим, принадлежат ли этой плоскости остальные три точки. Общее уравнение плоскости имеет вид $ax + by + cz + d = 0$.

Подставим координаты точек $K, L, Q$ в уравнение плоскости:
Для $K(0, 1, 0)$: $a \cdot 0 + b \cdot 1 + c \cdot 0 + d = 0 \implies b + d = 0 \implies b = -d$.
Для $Q(0, 0, 1)$: $a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot 1 + d = 0 \implies c + d = 0 \implies c = -d$.
Для $L(1, 2, 0)$: $a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 0 + d = 0 \implies a + 2b + d = 0$.

Подставим $b = -d$ в третье уравнение: $a + 2(-d) + d = 0 \implies a - d = 0 \implies a = d$.Таким образом, коэффициенты уравнения плоскости связаны соотношениями: $a=d$, $b=-d$, $c=-d$. Пусть $d = 1$, тогда $a = 1$, $b = -1$, $c = -1$.Уравнение плоскости принимает вид: $x - y - z + 1 = 0$.

Теперь проверим, удовлетворяют ли этому уравнению координаты оставшихся точек $M, N, P$.
Для точки $M(2, 2, 1)$: $2 - 2 - 1 + 1 = 0$. Равенство $0=0$ верно, точка $M$ лежит на плоскости.
Для точки $N(2, 1, 2)$: $2 - 1 - 2 + 1 = 0$. Равенство $0=0$ верно, точка $N$ лежит на плоскости.
Для точки $P(1, 0, 2)$: $1 - 0 - 2 + 1 = 0$. Равенство $0=0$ верно, точка $P$ лежит на плоскости.

Так как координаты всех шести точек $K, L, M, N, P, Q$ удовлетворяют одному и тому же уравнению плоскости $x - y - z + 1 = 0$, то все они лежат в одной плоскости. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что середины рёбер $AB, BC, CC_1, C_1D_1, D_1A_1$ и $A_1A$ куба лежат в одной плоскости.