Номер 5, страница 30 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Метод сечений. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 5, страница 30.

Условие.

5. Через вершину $A$ и середины рёбер $A_1D_1$ и $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ провели плоскость. Постройте сечение куба этой плоскостью и найдите, в каком отношении плоскость сечения делит ребро $BC$.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ имеет длину $a$. Поместим вершину $A$ в начало координат $(0,0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат вершины куба будут иметь следующие координаты:

• $A(0,0,0)$
• $B(a,0,0)$
• $C(a,a,0)$
• $D(0,a,0)$
• $A_1(0,0,a)$
• $B_1(a,0,a)$
• $C_1(a,a,a)$
• $D_1(0,a,a)$

Секущая плоскость проходит через три заданные точки:

• Вершина $A(0,0,0)$.
• Точка $M$ — середина ребра $A_1D_1$. Координаты $A_1(0,0,a)$ и $D_1(0,a,a)$. Координаты точки $M$: $M\left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{a+a}{2}\right) = M\left(0, \frac{a}{2}, a\right)$.
• Точка $N$ — середина ребра $CC_1$. Координаты $C(a,a,0)$ и $C_1(a,a,a)$. Координаты точки $N$: $N\left(\frac{a+a}{2}, \frac{a+a}{2}, \frac{0+a}{2}\right) = N\left(a, a, \frac{a}{2}\right)$.

Постройте сечение куба этой плоскостью

Построение сечения можно выполнить геометрически, а для точного определения положения точек и вычислений — аналитически.

Геометрическое построение (метод следов):

1. Соединим точки $A$ и $M$, так как они лежат в одной плоскости грани $ADD_1A_1$. Отрезок $AM$ является стороной сечения.
2. Противоположные грани куба $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ параллельны. Следовательно, секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Проведем в плоскости грани $BCC_1B_1$ через точку $N$ прямую, параллельную $AM$. Эта прямая пересечет ребро $BC$ в точке $K$. Отрезок $NK$ — сторона сечения.
3. Точки $A$ и $K$ лежат в одной плоскости грани $ABCD$. Соединяем их и получаем сторону сечения $AK$.
4. Аналогично, грани $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ параллельны. Проведем в плоскости верхней грани через точку $M$ прямую, параллельную $AK$. Эта прямая пересечет ребро $C_1D_1$ в точке $L$. Отрезок $ML$ — сторона сечения.
5. Точки $N$ и $L$ лежат в одной плоскости грани $CDD_1C_1$. Соединяем их и получаем сторону $NL$.

В результате построено искомое сечение — замкнутый пятиугольник $AKNLM$.

Аналитическое определение вершин сечения:

Для точного определения положения вершин сечения составим уравнение плоскости, проходящей через точки $A$, $M$ и $N$. Общий вид уравнения плоскости: $px + qy + rz + d = 0$.

1. Так как плоскость проходит через начало координат (точку $A$), свободный член $d=0$. Уравнение принимает вид $px + qy + rz = 0$.

2. Подставим координаты точки $M\left(0, \frac{a}{2}, a\right)$ в уравнение: $p \cdot 0 + q \cdot \frac{a}{2} + r \cdot a = 0 \implies \frac{qa}{2} + ra = 0 \implies q = -2r$.

3. Подставим координаты точки $N\left(a, a, \frac{a}{2}\right)$ в уравнение: $p \cdot a + q \cdot a + r \cdot \frac{a}{2} = 0 \implies p + q + \frac{r}{2} = 0$.

4. Подставим $q = -2r$ в последнее уравнение: $p - 2r + \frac{r}{2} = 0 \implies p - \frac{3r}{2} = 0 \implies p = \frac{3r}{2}$.

5. Выберем удобное ненулевое значение для $r$, например, $r=2$. Тогда $q = -2 \cdot 2 = -4$ и $p = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$.

Таким образом, уравнение секущей плоскости: $3x - 4y + 2z = 0$.

Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба, чтобы определить вершины сечения:

• Вершины $A(0,0,0)$, $M(0, \frac{a}{2}, a)$, $N(a, a, \frac{a}{2})$ заданы по условию.
• Пересечение с ребром $BC$ ($x=a, z=0$): $3a - 4y + 0 = 0 \implies y = \frac{3a}{4}$. Точка $K\left(a, \frac{3a}{4}, 0\right)$.
• Пересечение с ребром $C_1D_1$ ($z=a, y=a$): $3x - 4a + 2a = 0 \implies 3x = 2a \implies x = \frac{2a}{3}$. Точка $L\left(\frac{2a}{3}, a, a\right)$.

Проверка пересечений с остальными ребрами показывает, что других точек пересечения в пределах ребер нет. Таким образом, сечением является пятиугольник $AKNLM$.

Ответ: Сечением является пятиугольник $AKNLM$, где $K$ — точка на ребре $BC$, а $L$ — точка на ребре $C_1D_1$.

Найдите, в каком отношении плоскость сечения делит ребро BC

Как было найдено в предыдущем пункте, секущая плоскость пересекает ребро $BC$ в точке $K\left(a, \frac{3a}{4}, 0\right)$.

Ребро $BC$ соединяет вершины $B(a,0,0)$ и $C(a,a,0)$. Найдем, в каком отношении точка $K$ делит отрезок $BC$. Для этого вычислим длины отрезков $BK$ и $KC$. Так как точки лежат на прямой, параллельной оси $Oy$, их длины можно найти как разность y-координат.

Длина $BK = y_K - y_B = \frac{3a}{4} - 0 = \frac{3a}{4}$.

Длина $KC = y_C - y_K = a - \frac{3a}{4} = \frac{a}{4}$.

Искомое отношение равно:

$\frac{BK}{KC} = \frac{3a/4}{a/4} = \frac{3}{1}$.

Таким образом, плоскость сечения делит ребро $BC$ в отношении $3:1$, считая от вершины $B$.

Ответ: $3:1$.