Номер 6, страница 37 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 6, страница 37.

Условие.

6. Сформулируйте теорему о прямой, проходящей через заданную точку параллельно данной прямой.

Решение 1.

Решение 3.

6.

Данная теорема является фундаментальной в евклидовой геометрии и часто принимается как аксиома (аксиома параллельности). Она утверждает существование и единственность прямой, проходящей через заданную точку параллельно другой прямой.

Формулировка теоремы:

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Для развернутого ответа приведем доказательство этой теоремы, которое состоит из двух частей: доказательства существования и доказательства единственности.

Дано: прямая $a$ и точка $M$, не лежащая на прямой $a$ ($M \notin a$).

Требуется доказать: существует единственная прямая $b$, такая что $M \in b$ и $b \parallel a$.

1. Доказательство существования

Проведем через точку $M$ и произвольную точку $K$ на прямой $a$ вспомогательную прямую (секущую) $c$. При пересечении прямых $a$ и $c$ образуются углы. Обозначим один из внутреннних накрест лежащих углов как $\angle 1$.

Теперь построим прямую $b$, проходящую через точку $M$, так, чтобы внутренний накрест лежащий угол $\angle 2$ при пересечении прямых $b$ и $c$ был равен углу $\angle 1$. Такое построение возможно согласно аксиоме откладывания угла.

Поскольку внутренние накрест лежащие углы $\angle 1$ и $\angle 2$ равны ($\angle 1 = \angle 2$), то по первому признаку параллельности прямых, прямая $b$ параллельна прямой $a$ ($b \parallel a$).

Таким образом, мы доказали, что через точку $M$ проходит как минимум одна прямая, параллельная данной прямой $a$.

2. Доказательство единственности

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что через точку $M$ можно провести еще одну прямую $b'$, отличную от прямой $b$, и при этом $b'$ также параллельна прямой $a$.

В этом случае мы имеем две различные прямые ($b$ и $b'$) которые проходят через одну и ту же точку $M$ и обе параллельны третьей прямой $a$.

Это противоречит аксиоме параллельных прямых (пятому постулату Евклида), которая гласит, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Следовательно, наше предположение неверно, и прямая $b$, проходящая через точку $M$ параллельно прямой $a$, является единственной.

Ответ: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.