Номер 1, страница 30 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Метод сечений. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 1, страница 30.

Условие.

1. На рёбрах $AD$, $AC$ и $CB$ тетраэдра $DABC$ отмечены точки $M$, $N$ и $K$ соответственно. Прямые $NM$ и $CD$ пересекаются в точке $X$, а прямые $NK$ и $AB$ — в точке $Y$. Докажите, что прямые $XK$, $MY$ и $BD$ пересекаются в одной точке.

Решение 1.

Решение 3.

Для доказательства того, что прямые $XK$, $MY$ и $BD$ пересекаются в одной точке, воспользуемся теоремой о пересечении трех плоскостей. Эта теорема гласит: если три различные плоскости попарно пересекаются по трем различным прямым, то эти три прямые либо пересекаются в одной точке, либо параллельны друг другу.

Рассмотрим три плоскости: плоскость сечения $(MNK)$, плоскость грани $(ABD)$ и плоскость грани $(BCD)$.

1. Найдем линию пересечения плоскостей $(MNK)$ и $(ABD)$.

По условию, точка $M$ лежит на ребре $AD$. Поскольку ребро $AD$ принадлежит плоскости $(ABD)$, то точка $M$ также принадлежит плоскости $(ABD)$. По определению, $M$ принадлежит плоскости $(MNK)$. Следовательно, точка $M$ лежит на линии пересечения плоскостей $(MNK)$ и $(ABD)$.

По условию, точка $Y$ является точкой пересечения прямых $NK$ и $AB$. Поскольку $Y$ лежит на прямой $AB$, она принадлежит плоскости $(ABD)$. Поскольку $Y$ лежит на прямой $NK$, она принадлежит плоскости $(MNK)$. Следовательно, точка $Y$ также лежит на линии пересечения этих двух плоскостей.

Таким образом, прямая $MY$ является линией пересечения плоскостей $(MNK)$ и $(ABD)$.

2. Найдем линию пересечения плоскостей $(MNK)$ и $(BCD)$.

По условию, точка $K$ лежит на ребре $CB$. Поскольку ребро $CB$ принадлежит плоскости $(BCD)$, то точка $K$ также принадлежит плоскости $(BCD)$. По определению, $K$ принадлежит плоскости $(MNK)$. Следовательно, точка $K$ лежит на линии пересечения плоскостей $(MNK)$ и $(BCD)$.

По условию, точка $X$ является точкой пересечения прямых $NM$ и $CD$. Поскольку $X$ лежит на прямой $CD$, она принадлежит плоскости $(BCD)$. Поскольку $X$ лежит на прямой $NM$, она принадлежит плоскости $(MNK)$. Следовательно, точка $X$ также лежит на линии пересечения этих двух плоскостей.

Таким образом, прямая $XK$ является линией пересечения плоскостей $(MNK)$ и $(BCD)$.

3. Найдем линию пересечения плоскостей $(ABD)$ и $(BCD)$.

Обе эти плоскости являются гранями тетраэдра и проходят через вершины $B$ и $D$. Следовательно, линией их пересечения является прямая $BD$, содержащая ребро тетраэдра.

Итак, мы установили, что прямые $MY$, $XK$ и $BD$ являются линиями попарного пересечения трех плоскостей: $(MNK)$, $(ABD)$ и $(BCD)$.

Согласно теореме о трех плоскостях, эти три прямые должны либо пересекаться в одной точке, либо быть параллельными. В общем случае, при произвольном расположении точек $M$, $N$ и $K$ на ребрах, эти прямые не являются параллельными. Например, прямая $MY$ лежит в плоскости $(ABD)$, а прямая $XK$ — в плоскости $(BCD)$. Для их параллельности потребовались бы специальные условия на расположение точек, которые не даны в задаче.

Следовательно, прямые $XK$, $MY$ и $BD$ пересекаются в одной точке. Эта точка является общей для всех трех плоскостей $(MNK)$, $(ABD)$ и $(BCD)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.