Номер 28, страница 26 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Пространственные фигуры. Начальные представления о многогранниках. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 28, страница 26.

Условие.

3.28. Верно ли, что если все грани многогранника – равные квадраты, то этот многогранник – куб?

Решение 1.

Решение 3.

Нет, данное утверждение неверно. Утверждение было бы верным, если бы речь шла только о выпуклых многогранниках. Однако в общем случае, если не предполагать выпуклость, существуют многогранники, все грани которых — равные квадраты, но которые не являются кубами.

Чтобы опровергнуть утверждение, достаточно привести один контрпример.

Рассмотрим следующий многогранник. Возьмём восемь одинаковых кубиков и сложим из них на плоскости «раму» или «колодец» — квадрат размером $3 \times 3$ кубика с пустым пространством в центре. Полученное тело будет являться единым многогранником. Все его грани — это грани исходных кубиков, а значит, они являются равными между собой квадратами.

Подсчитаем количество граней у этого многогранника:

• Верхняя поверхность состоит из 8 квадратов.
• Нижняя поверхность также состоит из 8 квадратов.
• Внешняя боковая поверхность состоит из четырёх стенок, каждая из которых составлена из 3 квадратов. Общее число квадратов на внешней поверхности: $4 \times 3 = 12$.
• Внутренняя поверхность (ограничивающая центральное отверстие) состоит из четырёх стенок, каждая из которых является одним квадратом. Общее число квадратов на внутренней поверхности: $4 \times 1 = 4$.

Суммарное количество граней у этого многогранника составляет: $8 + 8 + 12 + 4 = 32$ грани. Все эти 32 грани являются равными квадратами.

Поскольку у куба всего 6 граней, построенный нами многогранник с 32 гранями кубом не является. Это доказывает, что исходное утверждение ложно.

Ответ: Нет, неверно.