Страница 24 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.15. Дана пирамида $SABCDE$ (рис. 3.30). Постройте линию пересечения плоскостей $ASE$ и $BSC$.

Для построения линии пересечения двух плоскостей, в данном случае $ASE$ и $BSC$, необходимо найти две общие точки, которые одновременно принадлежат обеим плоскостям. Прямая, проведенная через эти две точки, и будет являться искомой линией пересечения.

Нахождение первой общей точки

По определению заданных плоскостей $ASE$ и $BSC$, вершина пирамиды, точка $S$, является общей для них обеих. Таким образом, точка $S$ — первая точка, принадлежащая линии пересечения.

Нахождение второй общей точки

Чтобы найти вторую общую точку, рассмотрим прямые, лежащие в этих плоскостях. Прямая $AE$ принадлежит плоскости $ASE$, а прямая $BC$ принадлежит плоскости $BSC$. Обе эти прямые ($AE$ и $BC$) также лежат в одной плоскости — плоскости основания пирамиды $ABCDE$.

Поскольку прямые $AE$ и $BC$ лежат в одной плоскости, они либо параллельны, либо пересекаются. На данном чертеже видно, что они не параллельны, а значит, они должны пересечься в некоторой точке. Продлим отрезки $AE$ и $BC$ до их пересечения и обозначим эту точку как $P$.

Точка $P$ принадлежит прямой $AE$, следовательно, она принадлежит и плоскости $ASE$.
Точка $P$ принадлежит прямой $BC$, следовательно, она принадлежит и плоскости $BSC$.
Таким образом, точка $P$ является второй общей точкой для плоскостей $ASE$ и $BSC$.

Построение линии пересечения

Мы нашли две общие точки для плоскостей $ASE$ и $BSC$ — это точки $S$ и $P$. Проведя прямую через эти две точки, мы получим искомую линию пересечения.

Алгоритм построения:

1. В плоскости основания пирамиды построить прямую, проходящую через точки $A$ и $E$.
2. В той же плоскости основания построить прямую, проходящую через точки $B$ и $C$.
3. Найти точку пересечения этих двух прямых: $P = AE \cap BC$.
4. Провести прямую через вершину пирамиды $S$ и найденную точку $P$.

Прямая $SP$ является искомой линией пересечения плоскостей $ASE$ и $BSC$.

Ответ: Линия пересечения плоскостей $ASE$ и $BSC$ — это прямая $SP$, где $S$ — вершина пирамиды, а $P$ — точка пересечения прямых $AE$ и $BC$.

3.16. На ребрах $AB$ и $CD$ тетраэдра $DABC$ отметили соответственно точки $E$ и $F$. Постройте линию пересечения плоскостей $AFB$ и $CED$.

Для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям. Линия, проходящая через эти две точки, и будет являться линией пересечения данных плоскостей. В нашем случае мы ищем линию пересечения плоскостей $AFB$ и $CED$.

1. Рассмотрим точку $E$. Согласно условию задачи, точка $E$ лежит на ребре $AB$ тетраэдра $DABC$. Так как точка $E$ принадлежит прямой $AB$, а прямая $AB$ целиком лежит в плоскости $AFB$, то точка $E$ принадлежит плоскости $AFB$. Также, по определению плоскости $CED$, точка $E$ является одной из точек, задающих эту плоскость, следовательно, $E$ принадлежит плоскости $CED$. Таким образом, точка $E$ является общей точкой для обеих плоскостей.

2. Рассмотрим точку $F$. Согласно условию задачи, точка $F$ лежит на ребре $CD$ тетраэдра $DABC$. Так как точка $F$ принадлежит прямой $CD$, а прямая $CD$ целиком лежит в плоскости $CED$, то точка $F$ принадлежит плоскости $CED$. Также, по определению плоскости $AFB$, точка $F$ является одной из точек, задающих эту плоскость, следовательно, $F$ принадлежит плоскости $AFB$. Таким образом, точка $F$ также является общей точкой для обеих плоскостей.

3. Поскольку мы нашли две различные точки $E$ и $F$, которые одновременно принадлежат обеим плоскостям ($AFB$ и $CED$), то прямая, проходящая через эти точки, является линией их пересечения. Для построения этой линии достаточно соединить точки $E$ и $F$.

Ответ: Искомая линия пересечения плоскостей $AFB$ и $CED$ — это прямая $EF$.

3.17. Дана пирамида $MABCD$, точка $K$ принадлежит отрезку $BD$ (рис. 3.31). Постройте линию пересечения плоскостей $MCK$ и $MAB$.

Рис. 3.31

Чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, необходимо найти две общие точки, которые принадлежат обеим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет искомой линией пересечения. В данном случае мы ищем линию пересечения плоскостей $(MCK)$ и $(MAB)$.

Шаг 1: Нахождение первой общей точки.

Точка $M$ является вершиной пирамиды. По определению, она принадлежит как плоскости грани $MAB$, так и плоскости $MCK$, поскольку она указана в их обозначениях. Следовательно, точка $M$ — это первая общая точка двух плоскостей.

Шаг 2: Нахождение второй общей точки.

Вторую общую точку найдём как точку пересечения двух прямых, одна из которых лежит в плоскости $(MCK)$, а другая — в плоскости $(MAB)$. Чтобы прямые пересекались, они должны лежать в одной плоскости.

Рассмотрим прямые $CK$ и $AB$. Прямая $CK$ полностью лежит в плоскости $(MCK)$, так как обе точки $C$ и $K$ принадлежат этой плоскости. Прямая $AB$ полностью лежит в плоскости $(MAB)$, так как обе точки $A$ и $B$ принадлежат этой плоскости.

Обе эти прямые ($CK$ и $AB$) также лежат в плоскости основания пирамиды $(ABCD)$. Поскольку они лежат в одной плоскости и в общем случае не параллельны, они должны пересечься в некоторой точке.

Для построения этой точки необходимо продлить отрезки $CK$ и $AB$ до их пересечения. Обозначим полученную точку буквой $P$.

Точка $P$ является второй общей точкой для искомых плоскостей, так как она одновременно принадлежит обеим прямым:
1. Поскольку $P \in AB$, а прямая $AB \subset (MAB)$, то точка $P$ принадлежит плоскости $(MAB)$.
2. Поскольку $P \in CK$, а прямая $CK \subset (MCK)$, то точка $P$ принадлежит плоскости $(MCK)$.

Шаг 3: Построение линии пересечения.

Мы нашли две общие точки для плоскостей $(MCK)$ и $(MAB)$: это точки $M$ и $P$. Согласно аксиоме стереометрии, через две различные точки проходит единственная прямая. Проведя прямую через точки $M$ и $P$, мы получим искомую линию пересечения.

Ответ: Линией пересечения плоскостей $MCK$ и $MAB$ является прямая $MP$, где $P$ — точка пересечения прямых $CK$ и $AB$.

3.18. На рёбрах $AD$ и $CD$ пирамиды $SABCD$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ (рис. 3.32). Постройте линию пересечения плоскостей $BSC$ и $MSK$.

Рис. 3.30

Рис. 3.31

Рис. 3.32

Для построения линии пересечения двух плоскостей, $ (BSC) $ и $ (MSK) $, необходимо найти две общие точки, которые принадлежат обеим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, будет являться искомой линией пересечения.

1. Нахождение первой общей точки.
Плоскость $ (BSC) $ задана точками $S, B, C$. Плоскость $ (MSK) $ задана точками $M, S, K$. Точка $S$ является вершиной пирамиды и по определению принадлежит обеим плоскостям. Следовательно, $S$ — первая общая точка плоскостей $ (BSC) $ и $ (MSK) $.

2. Нахождение второй общей точки.
Для нахождения второй общей точки воспользуемся методом следов. Рассмотрим пересечение заданных плоскостей с плоскостью основания пирамиды $ (ABCD) $. Плоскость $ (BSC) $ пересекает плоскость основания $ (ABCD) $ по прямой $BC$. Плоскость $ (MSK) $ пересекает плоскость основания $ (ABCD) $ по прямой $MK$, так как точки $M$ (на ребре $AD$) и $K$ (на ребре $CD$) лежат в плоскости основания.

Прямые $BC$ и $MK$ обе лежат в одной плоскости — плоскости основания $ (ABCD) $. В общем случае эти прямые не параллельны, а значит, пересекаются. Построим точку их пересечения. Для этого в плоскости основания продолжим отрезки $BC$ и $MK$ до их пересечения в точке, которую обозначим $P$. Таким образом, $ P = BC \cap MK $.

Проанализируем принадлежность точки $P$ обеим плоскостям: Так как точка $P$ лежит на прямой $BC$, а прямая $BC$ целиком принадлежит плоскости $ (BSC) $, то точка $P$ также принадлежит плоскости $ (BSC) $. Аналогично, так как точка $P$ лежит на прямой $MK$, а прямая $MK$ целиком принадлежит плоскости $ (MSK) $, то точка $P$ также принадлежит плоскости $ (MSK) $. Следовательно, точка $P$ является второй общей точкой для плоскостей $ (BSC) $ и $ (MSK) $.

3. Построение линии пересечения.
Мы нашли две общие точки для заданных плоскостей: точку $S$ и точку $P$. Согласно аксиоме стереометрии, через две различные точки проходит единственная прямая. Эта прямая и является линией пересечения данных плоскостей.

Таким образом, искомая линия пересечения — это прямая $SP$.

Ответ: Линией пересечения плоскостей $BSC$ и $MSK$ является прямая $SP$, где $S$ — вершина пирамиды, а $P$ — точка пересечения прямых $BC$ и $MK$.

3.19. На рёбрах $AB$, $AD$ и $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечены соответственно точки $E$, $F$ и $M$ (рис. 3.33). Постройте сечение куба плоскостью $EFM$.

Рис. 3.33

Для построения сечения куба плоскостью, проходящей через точки E, F и M, будем использовать метод следов в сочетании со свойством параллельности граней куба.

1. Построение линии пересечения с гранью основания
Точки E и F лежат на рёбрах AB и AD соответственно, которые принадлежат плоскости нижнего основания (ABCD). Следовательно, точки E и F лежат в одной плоскости. Соединяем эти точки отрезком EF. Этот отрезок является частью искомого сечения и представляет собой линию пересечения секущей плоскости EFM с гранью ABCD.

2. Построение следа секущей плоскости на плоскости боковой грани
Чтобы найти точки пересечения секущей плоскости с другими рёбрами, найдём след (линию пересечения) секущей плоскости с плоскостью одной из боковых граней, например, BCC₁B₁. Для этого в плоскости основания ABCD продлим прямую EF и прямую BC до их пересечения. Обозначим эту точку P. Так как обе прямые лежат в одной плоскости и непараллельны (в общем случае), они пересекутся: $P = EF \cap BC$. Точка P принадлежит секущей плоскости (так как лежит на прямой EF) и плоскости грани BCC₁B₁ (так как лежит на прямой BC).

3. Нахождение новых вершин сечения
Точка M по условию также принадлежит секущей плоскости и плоскости грани BCC₁B₁. Следовательно, прямая, проходящая через точки M и P, является следом секущей плоскости на плоскости грани BCC₁B₁. Эта прямая пересекает рёбра грани BCC₁B₁. Найдём точку её пересечения с ребром BB₁, обозначив её Q. Таким образом, $Q = MP \cap BB_1$. Отрезок MQ — это сторона сечения, лежащая на грани BCC₁B₁. Теперь точки Q и E лежат в одной плоскости передней грани ABB₁A₁. Соединяем их отрезком QE, получая ещё одну сторону сечения.

4. Использование свойства параллельности граней для нахождения следующей вершины
Противоположные грани куба параллельны, в частности, грань ADD₁A₁ параллельна грани BCC₁B₁. Секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым. Линия пересечения с гранью BCC₁B₁ — это прямая MQ. Значит, линия пересечения с гранью ADD₁A₁ должна быть прямой, проходящей через точку F (лежащую в этой грани) и параллельной прямой MQ. Проведём в плоскости грани ADD₁A₁ через точку F прямую, параллельную MQ. Эта прямая пересечёт ребро DD₁ в точке, которую обозначим S. Отрезок FS — сторона сечения на грани ADD₁A₁.

5. Завершение построения сечения
На данном этапе мы имеем пять вершин сечения: E, F, S, M, Q, лежащих на рёбрах куба. Соединим последовательно точки, лежащие на одних и тех же гранях. Мы уже построили отрезки EF, EQ, QM, FS. Осталось соединить точки S и M. Они лежат на рёбрах DD₁ и CC₁ соответственно, то есть принадлежат задней грани DCC₁D₁. Соединяем их отрезком SM. В результате получаем замкнутый многоугольник — пятиугольник EFSMQ. Этот пятиугольник и является искомым сечением куба.

Ответ: Искомое сечение куба плоскостью EFM представляет собой пятиугольник EFSMQ, вершины которого строятся последовательно: 1. Проводится отрезок EF. 2. Находится точка $Q$ на ребре $BB_1$ как пересечение этого ребра с прямой $MP$, где $P = EF \cap BC$. 3. Находится точка $S$ на ребре $DD_1$ построением через точку $F$ прямой, параллельной $MQ$. 4. Вершины пятиугольника E, F, S, M, Q последовательно соединяются отрезками, образуя искомое сечение.

3.20. На рёбрах $AA_1$ и $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечены соответственно точки $E$ и $F$ (рис. 3.34). Постройте сечение куба плоскостью $EB_1F$.

Рис. 3.34

Для построения сечения куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки $E$, $B_1$ и $F$, выполним следующие действия:

Шаг 1. Соединение точек, лежащих в одной грани.

Точки $E$ и $B_1$ принадлежат плоскости одной грани $AA_1B_1B$. Соединим их, получив отрезок $EB_1$, который является одной из сторон искомого сечения. Аналогично, точки $B_1$ и $F$ принадлежат плоскости грани $BB_1C_1C$. Соединив их, получаем вторую сторону сечения — отрезок $B_1F$.

Шаг 2. Использование свойства параллельности граней.

Противоположные грани куба $AA_1D_1D$ и $BB_1C_1C$ параллельны. Согласно свойству, секущая плоскость пересекает две параллельные плоскости по параллельным прямым. Нам уже известна линия пересечения секущей плоскости с гранью $BB_1C_1C$ — это прямая $B_1F$. Следовательно, линия пересечения с параллельной гранью $AA_1D_1D$ должна быть параллельна прямой $B_1F$.

Шаг 3. Построение третьей вершины сечения.

Линия пересечения секущей плоскости с гранью $AA_1D_1D$ должна проходить через точку $E$, так как точка $E$ принадлежит как секущей плоскости, так и грани $AA_1D_1D$. Таким образом, в плоскости грани $AA_1D_1D$ проведем прямую через точку $E$ параллельно прямой $B_1F$. Точку пересечения этой прямой с ребром $DD_1$ обозначим буквой $G$. Отрезок $EG$ является третьей стороной сечения.

Шаг 4. Завершение построения.

Мы нашли четыре вершины сечения: $E$, $B_1$, $F$ и $G$. Точки $F$ и $G$ лежат в плоскости одной грани $DD_1C_1C$. Соединим их отрезком $FG$, получая четвертую, замыкающую сторону сечения. Полученный четырехугольник $EB_1FG$ и является искомым сечением куба.

По построению $EG \parallel B_1F$. Так как грани $AA_1B_1B$ и $DD_1C_1C$ также параллельны, то и отрезки сечения на них будут параллельны: $EB_1 \parallel FG$. Следовательно, построенное сечение $EB_1FG$ является параллелограммом.

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник $EB_1FG$, где точка $G$ — это точка на ребре $DD_1$ такая, что прямая $EG$ параллельна прямой $B_1F$.

3.21. На рёбрах $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечены соответственно точки $E$, $F$ и $K$ (рис. 3.35). Постройте сечение куба плоскостью $EFK$.

Рис. 3.33

Рис. 3.34

Рис. 3.35

Для построения сечения куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $EFK$ выполним следующие шаги:

1. Построение следов сечения на смежных гранях.

   Точки $E$ и $F$ лежат в плоскости одной грани — боковой грани $BCC_1B_1$. Следовательно, отрезок $EF$ является линией пересечения секущей плоскости с этой гранью и одной из сторон искомого сечения.

   Аналогично, точки $F$ и $K$ лежат в плоскости боковой грани $CDD_1C_1$. Соединив их, получаем отрезок $FK$ — еще одну сторону сечения.

2. Использование свойства параллельности граней куба.

   Противоположные грани куба параллельны. В частности, грань $ADD_1A_1$ параллельна грани $BCC_1B_1$. Согласно свойству, если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны.

   Это означает, что линия пересечения секущей плоскости $(EFK)$ с гранью $ADD_1A_1$ должна быть параллельна линии ее пересечения с гранью $BCC_1B_1$, то есть прямой $EF$.

3. Построение четвертой вершины и завершение сечения.

   Проведем в плоскости грани $ADD_1A_1$ через точку $K$ прямую, параллельную прямой $EF$. Точка пересечения этой прямой с ребром $AA_1$ является четвертой вершиной сечения. Обозначим эту точку $L$. Отрезок $KL$ — третья сторона сечения.

   Теперь у нас есть четыре вершины сечения: $E, F, K, L$. Точки $L$ и $E$ принадлежат одной грани $ABB_1A_1$. Соединяем их отрезком $LE$, который является четвертой и последней стороной сечения.

В результате построен четырехугольник $EFKL$, который и является искомым сечением куба плоскостью $EFK$.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $EFKL$, где точка $L$ является точкой пересечения ребра $AA_1$ с прямой, проведенной в плоскости грани $ADD_1A_1$ через точку $K$ параллельно прямой $EF$.