Страница 21 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Назовите пространственные фигуры, которые вы знаете.

1. Пространственные фигуры, также известные как геометрические тела или трехмерные фигуры, — это объекты, занимающие определенный объем в пространстве. Их можно разделить на несколько основных групп, главные из которых — многогранники и тела вращения.

Многогранники — это пространственные фигуры, поверхность которых состоит из конечного числа плоских многоугольников (граней). К наиболее известным многогранникам относятся:
• Куб — многогранник, у которого все шесть граней являются квадратами.
• Параллелепипед — многогранник, у которого все шесть граней являются параллелограммами. Если грани — прямоугольники, то это прямоугольный параллелепипед.
• Призма — многогранник, у которого два основания — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы.
• Пирамида — многогранник, у которого одно основание — многоугольник, а остальные (боковые) грани — треугольники, имеющие общую вершину.
• Тетраэдр — частный случай пирамиды, у которой все четыре грани являются треугольниками.

Тела вращения — это пространственные фигуры, образованные вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в той же плоскости. Основные тела вращения:
• Цилиндр — образован вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Состоит из двух круглых оснований и боковой поверхности.
• Конус — образован вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Состоит из круглого основания и конической боковой поверхности.
• Шар — образован вращением полукруга вокруг его диаметра. Поверхность шара называется сферой.

Ответ: Наиболее известные пространственные фигуры: куб, параллелепипед, призма, пирамида, цилиндр, конус, шар.

2. Из каких фигур состоит поверхность многогранника? Как их называют?

Из каких фигур состоит поверхность многогранника?

Поверхность многогранника представляет собой замкнутую оболочку, состоящую из конечного числа плоских многоугольников. Многогранник — это геометрическое тело, полностью ограниченное этими многоугольниками. В качестве таких фигур могут выступать треугольники, четырёхугольники (квадраты, прямоугольники, трапеции), пятиугольники и другие виды многоугольников.

Ответ: Поверхность многогранника состоит из плоских многоугольников.

Как их называют?

Плоские многоугольники, из которых состоит поверхность многогранника, называют его гранями. Кроме граней, у многогранника есть и другие элементы, которые являются частями этих многоугольников: стороны граней называют рёбрами, а вершины граней — вершинами многогранника.

Ответ: Многоугольники, из которых состоит поверхность многогранника, называют гранями.

3. Что называют рёбрами многогранника? вершинами многогранника?

рёбрами многогранника

Многогранник — это геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников, называемых гранями. Рёбрами многогранника называют отрезки, которые являются сторонами этих граней. Каждое ребро является линией пересечения двух смежных (соседних) граней. Например, у стандартного игрального кубика (гексаэдра) 12 рёбер, и каждое ребро является общей стороной для двух квадратных граней.

Ответ: Рёбрами многогранника называют отрезки, которые являются сторонами его граней.

вершинами многогранника

Вершинами многогранника называют точки, в которых сходятся его рёбра. Иначе говоря, это концы рёбер многогранника. Каждая вершина является общей для нескольких рёбер и нескольких граней. Например, у куба 8 вершин, и в каждой из них сходятся по три ребра и три грани.

Ответ: Вершинами многогранника называют точки, где сходятся его рёбра.

4. Какие виды многогранников вы знаете? Опишите эти многогранники.

Многогранник — это трёхмерное геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, которые называются гранями. Стороны граней называются рёбрами многогранника, а вершины граней — вершинами многогранника. Многогранники делятся на две большие группы: выпуклые и невыпуклые (вогнутые). Для любого выпуклого многогранника справедлива теорема Эйлера, связывающая число вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г): $В - Р + Г = 2$.

Существует множество видов многогранников, среди которых можно выделить следующие основные группы:

Призма

Призма — это многогранник, две грани которого (основания) являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммами, соединяющими соответствующие стороны оснований. Призмы бывают прямыми, если их боковые рёбра перпендикулярны основаниям, и наклонными в противном случае. Если в основании прямой призмы лежит правильный многоугольник, то призма называется правильной. Примерами призм являются куб (правильная призма с квадратным основанием) и параллелепипед (призма, в основании которой лежит параллелограмм).
Ответ:

Пирамида

Пирамида — это многогранник, основанием которого является многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину, не лежащую в плоскости основания. Эта общая вершина называется вершиной пирамиды. Если основание пирамиды — правильный многоугольник, а вершина проецируется в его центр, то пирамида называется правильной. Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то часть между этой плоскостью и основанием называется усечённой пирамидой. Самый простой вид пирамиды — тетраэдр (треугольная пирамида).
Ответ:

Правильные многогранники (Платоновы тела)

Правильный многогранник — это выпуклый многогранник, все грани которого являются равными правильными многоугольниками, и в каждой вершине сходится одинаковое число рёбер. Существует всего пять таких многогранников, которые также называют Платоновыми телами:
- Тетраэдр: 4 грани (треугольники), 4 вершины, 6 рёбер.
- Куб (гексаэдр): 6 граней (квадраты), 8 вершин, 12 рёбер.
- Октаэдр: 8 граней (треугольники), 6 вершин, 12 рёбер.
- Додекаэдр: 12 граней (пятиугольники), 20 вершин, 30 рёбер.
- Икосаэдр: 20 граней (треугольники), 12 вершин, 30 рёбер.
Ответ:

Полуправильные многогранники (Архимедовы тела)

Полуправильный многогранник (или Архимедово тело) — это выпуклый многогранник, гранями которого являются два или более типов правильных многоугольников, и у которого все вершины конгруэнтны (то есть в каждой вершине сходится один и тот же набор граней в одном и том же порядке). Существует 13 Архимедовых тел. Классическим примером является усечённый икосаэдр, который состоит из 12 правильных пятиугольников и 20 правильных шестиугольников и имеет форму футбольного мяча.
Ответ:

Звёздчатые многогранники

Звёздчатый многогранник — это невыпуклый многогранник, грани которого пересекают друг друга. Они могут быть получены путём процесса, называемого звёздчатым продолжением, когда грани или рёбра выпуклого многогранника продолжаются до их нового пересечения. Важной группой являются правильные звёздчатые многогранники, известные как тела Кеплера-Пуансо. Их всего четыре. Примером может служить малый звёздчатый додекаэдр.
Ответ:

3.1. На рисунке 3.21 изображён прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите:

1) основания параллелепипеда;

2) боковые грани параллелепипеда;

3) боковые рёбра параллелепипеда;

4) рёбра нижнего основания параллелепипеда;

5) ребро, принадлежащее граням $BB_1C_1C$ и $DD_1C_1C$.

Рис. 3.21

1) основания параллелепипеда;

Основаниями параллелепипеда являются две параллельные и равные грани. В данном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ это нижнее основание (четырёхугольник $ABCD$) и верхнее основание (четырёхугольник $A_1B_1C_1D_1$).

Ответ: $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$.

2) боковые грани параллелепипеда;

Боковые грани — это грани, соединяющие основания. В этом параллелепипеде их четыре: передняя грань $ABB_1A_1$, правая боковая грань $BCC_1B_1$, задняя грань $CDD_1C_1$ и левая боковая грань $ADD_1A_1$.

Ответ: $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $CDD_1C_1$, $ADD_1A_1$.

3) боковые рёбра параллелепипеда;

Боковые рёбра — это рёбра, соединяющие соответствующие вершины оснований. Они перпендикулярны основаниям в прямоугольном параллелепипеде. Это рёбра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$.

Ответ: $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$.

4) рёбра нижнего основания параллелепипеда;

Нижним основанием является грань $ABCD$. Её рёбрами являются стороны этого четырёхугольника: $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$.

Ответ: $AB$, $BC$, $CD$, $DA$.

5) ребро, принадлежащее граням $BB_1C_1C$ и $DD_1C_1C$.

Грань $BB_1C_1C$ — это правая боковая грань. Грань $DD_1C_1C$ — это задняя грань. Эти две грани пересекаются по общему ребру. Из названий граней видно, что общими для них являются вершины $C$ и $C_1$. Ребро, соединяющее эти вершины, и есть их линия пересечения. Это ребро $CC_1$.

Ответ: $CC_1$.