Страница 15 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.3. Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются. Докажите, что прямые $AC$ и $BD$ лежат в одной плоскости.

2.3.

Для доказательства воспользуемся аксиомами и следствиями из аксиом стереометрии.

1. По условию, прямые $AB$ и $CD$ пересекаются. Согласно следствию из аксиом стереометрии, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту единственную плоскость как $\alpha$.

2. Так как плоскость $\alpha$ проходит через прямые $AB$ и $CD$, то обе эти прямые лежат в данной плоскости. Это означает, что все точки этих прямых принадлежат плоскости $\alpha$.

3. Из этого следует, что точки $A$ и $B$ (принадлежащие прямой $AB$) и точки $C$ и $D$ (принадлежащие прямой $CD$) все лежат в одной и той же плоскости $\alpha$. То есть, $A \in \alpha$, $B \in \alpha$, $C \in \alpha$ и $D \in \alpha$.

4. Теперь рассмотрим прямую $AC$. Она определяется двумя точками: $A$ и $C$. Так как обе эти точки, $A$ и $C$, лежат в плоскости $\alpha$, то по аксиоме стереометрии (если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости), прямая $AC$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($AC \subset \alpha$).

5. Аналогично рассмотрим прямую $BD$. Она проходит через точки $B$ и $D$. Поскольку обе точки, $B$ и $D$, лежат в плоскости $\alpha$, то и вся прямая $BD$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($BD \subset \alpha$).

6. Таким образом, мы установили, что обе прямые, $AC$ и $BD$, лежат в одной и той же плоскости $\alpha$. Следовательно, они лежат в одной плоскости, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

2.4. Центр $O$ и хорда $AB$ окружности лежат в некоторой плоскости. Лежит ли в этой плоскости любая точка данной окружности?

Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть два возможных случая.

1. Хорда $AB$ не является диаметром.
В этом случае центр окружности $O$ и концы хорды, точки $A$ и $B$, не лежат на одной прямой. Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. По условию, точки $O$, $A$ и $B$ лежат в некоторой плоскости $\alpha$. В то же время, окружность по определению — это плоская фигура, и все её точки, включая $O$, $A$ и $B$, лежат в плоскости самой окружности, назовём её $\pi$. Поскольку обе плоскости, $\alpha$ и $\pi$, проходят через одни и те же три неколлинеарные точки, эти плоскости обязаны совпадать ($\alpha = \pi$). Следовательно, в этом случае вся окружность лежит в плоскости $\alpha$.

2. Хорда $AB$ является диаметром.
В этом случае точки $O$, $A$ и $B$ лежат на одной прямой. Через прямую можно провести бесконечное множество различных плоскостей. Плоскость $\pi$, в которой лежит окружность, является одной из таких плоскостей, и она, разумеется, содержит и центр $O$, и хорду $AB$. Однако можно выбрать и другую плоскость, $\alpha$, которая также проходит через прямую $AB$, но не совпадает с плоскостью $\pi$ (например, повернута относительно прямой $AB$). Такая плоскость $\alpha$ будет удовлетворять условию задачи (содержать центр $O$ и хорду-диаметр $AB$), но из всех точек окружности в ней будут лежать только концы диаметра $A$ и $B$. Все остальные точки окружности не будут принадлежать этой плоскости.

Поскольку вопрос "Лежит ли ... любая точка?" подразумевает, выполняется ли это условие всегда, а мы нашли случай, когда это не так, то общий ответ на вопрос — нет.

Ответ: Не обязательно. Если хорда $AB$ является диаметром, то через прямую, содержащую этот диаметр, можно провести бесконечное множество плоскостей. Только одна из этих плоскостей будет содержать всю окружность. Все остальные плоскости будут содержать только две точки окружности — концы этого диаметра.

2.5. Сторона $AC$ и центр $O$ описанной окружности треугольника $ABC$ лежат в плоскости $\alpha$. Лежит ли в этой плоскости вершина $B$?

Для ответа на данный вопрос необходимо проанализировать взаимное расположение точек $A$, $C$, $O$ и вершины $B$.

По определению, все три вершины треугольника $A$, $B$, $C$ и центр его описанной окружности $O$ лежат в одной плоскости — назовем её плоскостью треугольника $\beta$. Из условия задачи нам известно, что точки $A$, $C$ и $O$ также лежат в плоскости $\alpha$. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Точки $A$, $C$ и $O$ не лежат на одной прямой (неколлинеарны).
Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Поскольку точки $A$, $C$ и $O$ принадлежат как плоскости $\beta$ (плоскости треугольника), так и плоскости $\alpha$ (по условию), эти две плоскости обязаны совпадать: $\alpha = \beta$. Вершина $B$ принадлежит плоскости треугольника $\beta$, следовательно, она также лежит и в плоскости $\alpha$. В этом случае ответ — да, вершина $B$ лежит в плоскости $\alpha$.

Случай 2: Точки $A$, $C$ и $O$ лежат на одной прямой (коллинеарны).
Такая ситуация возможна только в одном случае: если треугольник $ABC$ является прямоугольным, а сторона $AC$ — его гипотенузой. Тогда центр описанной окружности $O$ будет являться серединой гипотенузы $AC$.В этом случае условие, что точки $A$, $C$ и $O$ лежат в плоскости $\alpha$, означает, что вся прямая, содержащая гипотенузу $AC$, лежит в плоскости $\alpha$. Однако плоскость самого треугольника $\beta$ определяется этой прямой $AC$ и точкой $B$, которая не лежит на данной прямой. Через одну прямую в пространстве можно провести бесконечное множество плоскостей. Плоскость $\alpha$ — лишь одна из них. Ничто в условии не обязывает плоскость треугольника $\beta$ совпадать с плоскостью $\alpha$. Следовательно, вершина $B$ может и не лежать в плоскости $\alpha$.

Так как существует случай, когда вершина $B$ не обязана лежать в плоскости $\alpha$, то на общий вопрос нельзя дать однозначный положительный ответ.

Ответ: Не обязательно. Вершина $B$ будет лежать в плоскости $\alpha$ тогда и только тогда, когда точки $A$, $C$ и $O$ не лежат на одной прямой. Если же треугольник $ABC$ является прямоугольным с гипотенузой $AC$ (и точки $A$, $C$, $O$ лежат на одной прямой), то вершина $B$ может лежать вне плоскости $\alpha$.

2.6. Прямые $a$ и $b$ пересекаются. Все ли прямые, пересекающие прямые $a$ и $b$, лежат в одной плоскости?

Нет, не все прямые, пересекающие данные прямые $a$ и $b$, лежат в одной плоскости.

Рассуждение:

1. Согласно аксиоме стереометрии, так как прямые $a$ и $b$ пересекаются, они определяют единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\alpha$. Таким образом, и прямая $a$, и прямая $b$ полностью лежат в плоскости $\alpha$. Пусть точка $M$ – точка их пересечения ($M = a \cap b$).

2. Рассмотрим произвольную прямую $c$, которая пересекает и прямую $a$, и прямую $b$. Пусть $A$ — точка пересечения $c$ и $a$, а $B$ — точка пересечения $c$ и $b$.

3. Случай 1: Точки пересечения различны ($A \neq B$).
Поскольку точка $A$ лежит на прямой $a$, а прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $A$ принадлежит плоскости $\alpha$. Аналогично, точка $B$ принадлежит плоскости $\alpha$. Прямая $c$ проходит через две различные точки ($A$ и $B$), лежащие в плоскости $\alpha$. По аксиоме, если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Следовательно, в этом случае прямая $c$ лежит в плоскости $\alpha$.

4. Случай 2: Точки пересечения совпадают ($A = B$).
Это возможно только если прямая $c$ проходит через точку пересечения прямых $a$ и $b$, то есть $A = B = M$. В этом случае прямая $c$ имеет с плоскостью $\alpha$ только одну общую точку $M$. Через одну точку в пространстве можно провести бесконечное множество прямых, которые не будут лежать в плоскости $\alpha$. Например, можно провести прямую $c$ через точку $M$ перпендикулярно плоскости $\alpha$. Такая прямая будет пересекать и прямую $a$, и прямую $b$ (в их общей точке $M$), но не будет лежать в плоскости $\alpha$.

Поскольку мы нашли контрпример (Случай 2), утверждение о том, что все такие прямые лежат в одной плоскости, является неверным.

Ответ: Нет, не все. Прямая, проходящая через точку пересечения прямых $a$ и $b$, но не лежащая в их плоскости, также пересекает обе эти прямые.

2.7. Даны прямая $a$ и точка $A$ вне её. Докажите, что все прямые, которые проходят через точку $A$ и пересекают прямую $a$, лежат в одной плоскости.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся аксиомами стереометрии.

1. По условию даны прямая $a$ и точка $A$, не принадлежащая этой прямой ($A \notin a$). Согласно аксиоме стереометрии, через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Определим эту единственную плоскость как $\alpha$.

2. Из определения плоскости $\alpha$ следует, что и прямая $a$, и точка $A$ принадлежат этой плоскости. Математически это записывается как $a \subset \alpha$ и $A \in \alpha$.

3. Теперь рассмотрим любую произвольную прямую $b$, которая удовлетворяет условию задачи, то есть проходит через точку $A$ и пересекает прямую $a$. Пусть точка их пересечения — $B$.

4. Поскольку прямая $b$ проходит через точку $A$, то точка $A$ лежит на прямой $b$ ($A \in b$). Поскольку прямая $b$ пересекает прямую $a$ в точке $B$, то точка $B$ принадлежит обеим прямым, то есть $B \in b$ и $B \in a$.

5. Так как точка $B$ лежит на прямой $a$ ($B \in a$), а вся прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), то точка $B$ также принадлежит плоскости $\alpha$ ($B \in \alpha$).

6. Мы получили, что две различные точки $A$ и $B$, принадлежащие прямой $b$, одновременно лежат и в плоскости $\alpha$.

7. Согласно другой аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Отсюда следует, что прямая $b$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

8. Так как прямая $b$ была выбрана произвольно из множества всех прямых, удовлетворяющих условию, то наше заключение верно для всех таких прямых. Все они лежат в одной и той же плоскости $\alpha$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Все прямые, проходящие через точку $A$ и пересекающие прямую $a$, лежат в одной плоскости, а именно в той единственной плоскости, которая определяется прямой $a$ и точкой $A$.

2.8. Прямые $m$ и $n$ пересекаются в точке $A$. Точка $B$ принадлежит прямой $m$, точка $C$ – прямой $n$, точка $D$ – прямой $BC$. Докажите, что прямые $m$ и $n$ и точка $D$ лежат в одной плоскости.

Для доказательства воспользуемся аксиомами стереометрии.

1. Согласно аксиоме, через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну. По условию, прямые $m$ и $n$ пересекаются в точке $A$. Следовательно, существует единственная плоскость, назовем ее $\alpha$, которая содержит обе эти прямые. Математически это записывается как $m \subset \alpha$ и $n \subset \alpha$.

2. По условию, точка $B$ принадлежит прямой $m$ ($B \in m$). Так как вся прямая $m$ лежит в плоскости $\alpha$, то и любая ее точка, включая точку $B$, также лежит в этой плоскости. Таким образом, $B \in \alpha$.

3. Аналогично, точка $C$ принадлежит прямой $n$ ($C \in n$). Так как вся прямая $n$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $C$ также лежит в этой плоскости. Таким образом, $C \in \alpha$.

4. Теперь мы знаем, что две точки $B$ и $C$ лежат в плоскости $\alpha$. Согласно другой аксиоме, если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки этой прямой лежат в этой плоскости. Следовательно, вся прямая $BC$ лежит в плоскости $\alpha$ ($BC \subset \alpha$).

5. По условию задачи, точка $D$ принадлежит прямой $BC$ ($D \in BC$). Поскольку вся прямая $BC$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $D$, принадлежащая этой прямой, также лежит в плоскости $\alpha$ ($D \in \alpha$).

6. Мы установили, что прямые $m$ и $n$ лежат в плоскости $\alpha$, и точка $D$ также лежит в этой же плоскости. Следовательно, прямые $m$ и $n$ и точка $D$ лежат в одной плоскости, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Пересекающиеся прямые $m$ и $n$ задают единственную плоскость $\alpha$. Точка $B$ на прямой $m$ и точка $C$ на прямой $n$ лежат в этой плоскости. Значит, и вся прямая $BC$ лежит в плоскости $\alpha$. Так как точка $D$ принадлежит прямой $BC$, она также лежит в плоскости $\alpha$.

2.9. Прямые $AB$ и $AC$ пересекают плоскость $\alpha$ в точках $B$ и $C$, точки $D$ и $E$ принадлежат этой плоскости (рис. 2.3). Постройте точку пересечения прямой $DE$ с плоскостью $ABC$.

Рис. 2.3

Для построения точки пересечения прямой $DE$ с плоскостью $ABC$ необходимо найти точку, которая одновременно принадлежит и прямой $DE$, и плоскости $ABC$.

1. Определим, где находится искомая точка. Прямая $DE$ полностью лежит в плоскости $\alpha$, так как обе точки $D$ и $E$ по условию принадлежат этой плоскости. Это означает, что любая точка прямой $DE$, включая искомую точку пересечения, также лежит в плоскости $\alpha$. По определению, искомая точка должна также лежать в плоскости $ABC$. Следовательно, она должна принадлежать линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $ABC$.

2. Найдем линию пересечения плоскостей $\alpha$ и $ABC$. Для этого найдем две их общие точки.

• По условию, прямая $AB$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $B$. Таким образом, точка $B$ принадлежит плоскости $\alpha$. Точка $B$ также принадлежит прямой $AB$, а значит и плоскости $ABC$. Следовательно, $B$ — общая точка плоскостей $\alpha$ и $ABC$.
• Аналогично, прямая $AC$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $C$. Таким образом, точка $C$ принадлежит плоскости $\alpha$. Точка $C$ также принадлежит прямой $AC$, а значит и плоскости $ABC$. Следовательно, $C$ — вторая общая точка этих плоскостей.

Поскольку плоскости $\alpha$ и $ABC$ имеют две общие точки $B$ и $C$, они пересекаются по прямой $BC$.

3. Выполним построение. Мы установили, что искомая точка пересечения прямой $DE$ с плоскостью $ABC$ должна лежать на прямой $BC$. Так как эта точка также должна лежать на прямой $DE$, она является точкой пересечения прямых $DE$ и $BC$. Обе эти прямые лежат в одной плоскости $\alpha$, поэтому (если они не параллельны) они пересекутся в одной точке.

Таким образом, алгоритм построения следующий:

1. Провести прямую через точки $B$ и $C$.
2. Провести прямую через точки $D$ и $E$.
3. Точка пересечения прямых $BC$ и $DE$ является искомой точкой пересечения прямой $DE$ с плоскостью $ABC$.

Ответ: Искомая точка является точкой пересечения прямых $DE$ и $BC$.

2.10. Прямая BA пересекает плоскость $\alpha$ в точке A, прямая BC — в точке C (рис. 2.4). На отрезке AB отметили точку D, на отрезке BC — точку E. Постройте точку пересечения прямой DE с плоскостью $\alpha$.

Рис. 2.4

Для того чтобы построить точку пересечения прямой $DE$ с плоскостью $\alpha$, необходимо найти точку, которая одновременно принадлежит и прямой $DE$, и плоскости $\alpha$. Для решения этой задачи воспользуемся методом вспомогательных секущих плоскостей.

1. Прямые $BA$ и $BC$ пересекаются в точке $B$, следовательно, они задают единственную плоскость. Обозначим эту плоскость $(ABC)$.

2. По условию, точка $D$ лежит на отрезке $AB$, а точка $E$ — на отрезке $BC$. Так как прямые $AB$ и $BC$ лежат в плоскости $(ABC)$, то и точки $D$ и $E$ принадлежат этой плоскости. По аксиоме стереометрии, если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Следовательно, прямая $DE$ целиком лежит в плоскости $(ABC)$.

3. Искомая точка пересечения прямой $DE$ с плоскостью $\alpha$ является общей точкой для прямой $DE$ и плоскости $\alpha$. Так как прямая $DE$ лежит во вспомогательной плоскости $(ABC)$, то искомая точка должна лежать на линии пересечения плоскостей $(ABC)$ и $\alpha$.

4. Найдем линию пересечения плоскостей $(ABC)$ и $\alpha$. По условию задачи, прямая $BA$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $A$, а прямая $BC$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $C$. Это означает, что точки $A$ и $C$ являются общими для обеих плоскостей. Следовательно, линия пересечения плоскостей $(ABC)$ и $\alpha$ — это прямая $AC$.

5. Таким образом, искомая точка является точкой пересечения прямой $DE$ и прямой $AC$. Обе эти прямые лежат в одной плоскости $(ABC)$, поэтому (в общем случае, если они не параллельны) они пересекаются в одной точке.

Алгоритм построения:

1. Соединить точки $A$ и $C$, построив прямую $AC$. Эта прямая полностью лежит в плоскости $\alpha$.
2. Провести прямую через точки $D$ и $E$.
3. Найти точку пересечения прямых $AC$ и $DE$. Эта точка, обозначим ее $F$, и будет искомой точкой пересечения.

Обоснование: Точка $F$ является искомой, так как по построению она принадлежит прямой $DE$ ($F \in DE$) и одновременно принадлежит прямой $AC$ ($F \in AC$). Поскольку прямая $AC$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($AC \subset \alpha$), то и точка $F$ лежит в плоскости $\alpha$ ($F \in \alpha$).

Ответ: искомая точка пересечения прямой $DE$ с плоскостью $\alpha$ является точкой пересечения прямых $DE$ и $AC$.

2.11. Даны пять точек, не лежащих в одной плоскости. Какое наибольшее количество из них может лежать на одной прямой?

Для ответа на этот вопрос рассмотрим максимальное возможное количество точек, лежащих на одной прямой, и проверим, не противоречит ли это условию, что все пять точек не лежат в одной плоскости. Будем рассуждать методом от противного, начиная с наибольшего возможного числа.

1. Предположим, что 5 точек могут лежать на одной прямой. Если все пять точек лежат на одной прямой, то через эту прямую можно провести плоскость (и даже бесконечно много плоскостей). В такой плоскости будут лежать все пять точек, что противоречит условию задачи. Следовательно, все пять точек не могут лежать на одной прямой.

2. Предположим, что 4 точки могут лежать на одной прямой. Обозначим эту прямую как $l$. Пятая точка, по определению, не может лежать на этой прямой (иначе мы бы вернулись к предыдущему случаю). Согласно аксиоме стереометрии, через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. В нашем случае через прямую $l$ (на которой лежат четыре точки) и пятую точку можно провести единственную плоскость. Эта плоскость будет содержать все пять точек. Это снова противоречит условию, что точки не лежат в одной плоскости. Следовательно, четыре точки также не могут лежать на одной прямой.

3. Рассмотрим случай, когда 3 точки лежат на одной прямой. Проверим, возможна ли такая конфигурация. Пусть три точки ($A, B, C$) лежат на прямой $l$. Возьмем четвертую точку $D$ так, чтобы она не лежала на прямой $l$. Через прямую $l$ и точку $D$ проходит единственная плоскость, назовем ее $\alpha$. В этой плоскости лежат точки $A, B, C, D$. Чтобы выполнить условие задачи, пятая точка $E$ не должна лежать в плоскости $\alpha$. Такое расположение точек в пространстве возможно. Мы построили пример, где пять точек не лежат в одной плоскости, но три из них лежат на одной прямой.

Таким образом, мы показали, что 5 и 4 точки не могут лежать на одной прямой, а 3 точки — могут. Это означает, что наибольшее возможное количество точек, лежащих на одной прямой, равно трем.

Ответ: 3

2.12. Три прямые пересекаются в одной точке. Через каждые две из этих прямых проведена плоскость. Сколько всего плоскостей проведено?

Для решения этой задачи необходимо использовать аксиому стереометрии, которая гласит: через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Пусть даны три прямые, обозначим их $a$, $b$ и $c$. По условию, они все пересекаются в одной точке. Нам нужно определить, сколько плоскостей можно провести через каждые две из этих прямых.

Сначала посчитаем, сколько всего пар можно составить из трех прямых. Это комбинаторная задача на нахождение числа сочетаний из 3 элементов по 2. Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество прямых $n=3$, а в каждой паре $k=2$ прямые.
$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot 1} = 3$.

Таким образом, мы можем сформировать 3 пары прямых: ($a$, $b$), ($a$, $c$) и ($b$, $c$). Каждая такая пара пересекающихся прямых однозначно задает плоскость. Теперь нужно определить, будут ли эти три плоскости различными. Это зависит от взаимного расположения прямых в пространстве.

Возможны два случая:

1. Все три прямые лежат в одной плоскости.
Если прямые $a$, $b$ и $c$ изначально лежат в одной и той же плоскости (являются компланарными), то плоскость, проведенная через любую пару из них (например, через $a$ и $b$), будет совпадать с исходной плоскостью. Таким образом, все три пары прямых определяют одну и ту же плоскость. В этом случае будет проведена всего одна плоскость.

2. Три прямые не лежат в одной плоскости (общий случай).
Это более общая ситуация, которую можно представить на примере трех осей координат ($Ox, Oy, Oz$), пересекающихся в начале координат. Плоскость, определенная парой прямых $a$ и $b$, не будет содержать прямую $c$, иначе все три прямые оказались бы в одной плоскости, что противоречит условию данного случая. Следовательно, плоскости, определенные парами ($a, b$), ($a, c$) и ($b, c$), будут различными. В этом случае будет проведено три различные плоскости.

В задачах по геометрии, если не указано иное, обычно предполагается общий случай расположения фигур.

Ответ: Если три прямые не лежат в одной плоскости, то проведено 3 плоскости. Если все три прямые лежат в одной плоскости, то проведена 1 плоскость.

2.13. Как при помощи двух нитей столяр может проверить, лежат ли концы четырёх ножек стула в одной плоскости?

Чтобы проверить, лежат ли концы четырёх ножек стула в одной плоскости, столяр должен воспользоваться свойством прямых и плоскостей в пространстве. Четыре точки лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда прямые, соединяющие их попарно (диагонали), пересекаются или параллельны. В общем случае ножки стула образуют четырёхугольник, диагонали которого не параллельны.

Процесс проверки выглядит следующим образом:

1. Обозначим концы ножек стула как точки $A$, $B$, $C$ и $D$ так, чтобы точки $A$ и $C$ были на одной диагонали, а $B$ и $D$ — на другой.
2. Первую нить следует туго натянуть между концами ножек $A$ и $C$. Эта нить будет представлять собой диагональ $AC$.
3. Вторую нить следует туго натянуть между концами ножек $B$ и $D$. Эта нить будет представлять собой диагональ $BD$.
4. Далее необходимо проверить взаимное расположение двух натянутых нитей.

Анализ результата:

• Если нити пересекаются (касаются друг друга в одной точке), это означает, что диагонали четырёхугольника $ABCD$ пересекаются. Две пересекающиеся прямые определяют единственную плоскость. Поскольку все четыре точки ($A$, $B$, $C$, $D$) лежат на этих двух прямых, они все принадлежат этой плоскости. Это означает, что концы ножек стула лежат в одной плоскости, и стул будет стоять на ровной поверхности устойчиво.
• Если нити не пересекаются (одна нить проходит над другой), это означает, что прямые, которым принадлежат диагонали, являются скрещивающимися. Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости. Следовательно, четыре точки $A$, $B$, $C$, $D$ не могут лежать в одной плоскости. Это означает, что концы ножек стула не лежат в одной плоскости, и стул будет качаться на ровной поверхности.

Ответ: Столяру нужно натянуть две нити по диагоналям между концами ножек стула. Если нити пересекаются, то концы ножек лежат в одной плоскости. Если нити не пересекаются, то не лежат.

2.14. Найдите ошибку на рисунке 2.5, если известно, что вершина $D$ четырехугольника $ABCD$ лежит в плоскости $\alpha$, вершины $A, B$ и $C$ не лежат в этой плоскости, прямая $AB$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $E$, прямая $BC$ – в точке $F$. Выполните правильный рисунок.

Рис. 2.3

Рис. 2.4

Рис. 2.5

Найдите ошибку на рисунке 2.5

Согласно условию задачи, имеется четырехугольник $ABCD$ и плоскость $\alpha$.

1. Точки $A$, $B$ и $C$, как вершины четырехугольника (не лежащие на одной прямой), задают некоторую плоскость. Назовем ее $\beta$. Поскольку $ABCD$ — четырехугольник, все его вершины по определению лежат в одной плоскости, следовательно, точка $D$ также лежит в плоскости $\beta$.
2. Прямая $AB$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $E$. Это означает, что точка $E$ принадлежит как прямой $AB$, так и плоскости $\alpha$. Так как прямая $AB$ лежит в плоскости $\beta$, то точка $E$ принадлежит и плоскости $\beta$. Следовательно, точка $E$ лежит на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.
3. Аналогично, прямая $BC$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $F$. Это означает, что точка $F$ принадлежит как прямой $BC$, так и плоскости $\alpha$. Так как прямая $BC$ лежит в плоскости $\beta$, то точка $F$ принадлежит и плоскости $\beta$. Следовательно, точка $F$ также лежит на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.
4. По условию, вершина $D$ лежит в плоскости $\alpha$. Из пункта 1 мы знаем, что $D$ также лежит в плоскости $\beta$. Значит, точка $D$ тоже должна лежать на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.
5. Пересечением двух различных плоскостей является прямая. Из пунктов 2, 3 и 4 следует, что все три точки — $D$, $E$ и $F$ — должны лежать на одной прямой, которая является линией пересечения плоскости четырехугольника $\beta$ и плоскости $\alpha$.

Ошибка на рисунке 2.5 заключается в том, что точки $D$, $E$ и $F$ не лежат на одной прямой, а образуют треугольник в плоскости $\alpha$.

Ответ: Ошибка на рисунке состоит в том, что точки $D$, $E$ и $F$, являющиеся точками пересечения плоскости четырехугольника $ABCD$ с плоскостью $\alpha$, не расположены на одной прямой.

Выполните правильный рисунок

На правильном рисунке точки $D$, $E$ и $F$ должны лежать на одной прямой, расположенной в плоскости $\alpha$.

Ответ: Правильный рисунок представлен выше. На нем точки $D$, $E$, $F$ лежат на одной прямой в плоскости $\alpha$, точка $D$ является вершиной четырехугольника, а точки $E$ и $F$ — точками пересечения прямых $AB$ и $BC$ с плоскостью $\alpha$ соответственно.