Страница 11 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.2. Изобразите плоскость $\gamma$, проходящую через прямую $c$. Запишите это с помощью соответствующих символов.

Задача состоит из двух частей: изобразить геометрическую ситуацию и записать ее символически.

1. Изображение

В стереометрии плоскость принято изображать в виде параллелограмма или произвольной замкнутой области. Прямая, которая лежит в этой плоскости, изображается в виде отрезка, полностью находящегося внутри этой области.

На рисунке выше изображена плоскость γ и прямая c, которая лежит в этой плоскости.

2. Символическая запись

Утверждение "плоскость γ проходит через прямую c" эквивалентно утверждению "прямая c лежит в плоскости γ". Это означает, что каждая точка прямой c является также точкой плоскости γ. В теории множеств это отношение называется включением, где прямая рассматривается как подмножество точек плоскости.

Для этого используется специальный символ $ \subset $. Запись будет выглядеть следующим образом:

$c \subset \gamma$

Ответ: $c \subset \gamma$

1.3. Изобразите плоскость $\alpha$ и прямую $b$, пересекающую данную плоскость в точке $A$. Запишите это с помощью соответствующих символов. Сколько точек прямой $b$ принадлежит плоскости $\alpha$?

Изображение плоскости α и прямой b

Плоскость α принято изображать в виде параллелограмма. Прямая b пересекает эту плоскость в точке A. Для наглядности часть прямой, которая находится «за» плоскостью и невидима для наблюдателя, изображается штриховой (пунктирной) линией.

Ответ: Изображение представлено выше.

Запись с помощью соответствующих символов

Утверждение «прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $A$» в символической форме записывается с использованием знака пересечения ($\cap$). Точка $A$ является результатом пересечения множества точек прямой $b$ и множества точек плоскости $\alpha$.

$b \cap \alpha = A$

Эта запись также подразумевает, что точка $A$ принадлежит как прямой $b$ ($A \in b$), так и плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$).

Ответ: $b \cap \alpha = A$.

Сколько точек прямой b принадлежит плоскости α?

Согласно аксиомам стереометрии, существует три возможных случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве. Прямая может лежать в плоскости (в этом случае они имеют бесконечно много общих точек), прямая может быть параллельна плоскости (нет общих точек), или прямая может пересекать плоскость. В условии задачи указано, что прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$. Этот случай подразумевает наличие ровно одной общей точки.

Ответ: Плоскости $\alpha$ принадлежит ровно одна точка прямой $b$.

1.4. Изобразите плоскости $\beta$ и $\gamma$, пересекающиеся по прямой $c$. Запишите это с помощью соответствующих символов.

Изображение плоскостей

Чтобы изобразить две плоскости, $\beta$ и $\gamma$, пересекающиеся по прямой $c$, мы можем нарисовать два параллелограмма, представляющие эти плоскости. Эти параллелограммы должны "проходить" друг через друга. Линия, которая является общей для обеих плоскостей, и есть их линия пересечения $c$.

Ниже приведено схематическое изображение, где плоскость $\beta$ и плоскость $\gamma$ пересекаются по прямой $c$.

Ответ: Схематическое изображение пересекающихся плоскостей представлено на рисунке выше.

Символическая запись

Факт пересечения двух геометрических объектов (в данном случае плоскостей) записывается с помощью символа пересечения $\cap$. Утверждение, что плоскость $\beta$ и плоскость $\gamma$ пересекаются по прямой $c$, можно записать в виде математического равенства.

Эта запись выглядит так: $$ \beta \cap \gamma = c $$ Она читается: "Пересечением плоскости $\beta$ и плоскости $\gamma$ является прямая $c$".

Ответ: $\beta \cap \gamma = c$

1.5. Прямая $a$ проходит через точку $A$ плоскости $\alpha$. Следует ли из этого, что прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$?

Для того чтобы ответить на данный вопрос, необходимо рассмотреть все возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости, удовлетворяющие заданному условию.

По условию, прямая $a$ проходит через точку $A$, которая принадлежит плоскости $\alpha$. Это означает, что у прямой $a$ и плоскости $\alpha$ есть как минимум одна общая точка — точка $A$.

В стереометрии есть два варианта для прямой и плоскости, имеющих общую точку:

1. Прямая и плоскость имеют только одну общую точку. В этом случае говорят, что прямая пересекает плоскость.
2. Прямая и плоскость имеют более одной общей точки. Согласно аксиоме стереометрии, если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Это означает, что у них бесконечно много общих точек. В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости.

Заданное условие ($A \in a$ и $A \in \alpha$) не исключает второй вариант. Прямая $a$ может целиком лежать в плоскости $\alpha$. В этом случае она также будет проходить через точку $A$ этой плоскости, но она не будет пересекать плоскость в привычном понимании этого термина (т.е. иметь с ней лишь одну общую точку).

Таким образом, из того, что прямая $a$ проходит через точку $A$ плоскости $\alpha$, не обязательно следует, что она пересекает эту плоскость. Она может также лежать в этой плоскости.

Ответ: Нет, не следует. Прямая $a$ может как пересекать плоскость $\alpha$ в точке $A$, так и полностью лежать в плоскости $\alpha$.

1.6. Запишите с помощью символов взаимное расположение точек, прямых и плоскостей, изображённых на рисунке 1.17.

Рис. 1.17

$m \subset \alpha$

$E \in m$

$F \in m$

$D \in \alpha$

$D \notin m$

Взаимное расположение точек

Проанализируем расположение точек $E$, $F$ и $D$ относительно прямой $m$ и плоскости $\alpha$. Точка $E$ является точкой пересечения прямой $m$ и плоскости $\alpha$, значит, она принадлежит как прямой, так и плоскости. Точки $F$ и $D$ лежат в плоскости $\alpha$. Для записи принадлежности точки прямой или плоскости используется символ $\in$.

Ответ: $E \in m, E \in \alpha, F \in \alpha, D \in \alpha$.

Взаимное расположение прямых и плоскости

Рассмотрим расположение прямой $m$ и прямой, проходящей через точки $F$ и $D$ (обозначим ее $(FD)$), по отношению к плоскости $\alpha$. Прямая $m$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $E$. Этот факт записывается с помощью символа пересечения $\cap$. Поскольку точки $F$ и $D$ принадлежат плоскости $\alpha$, вся прямая $(FD)$, проходящая через них, лежит в этой плоскости. Для этого используется символ включения $\subset$.

Ответ: $m \cap \alpha = E, (FD) \subset \alpha$.

1.7. Даны точки $A, B$ и $C$, такие, что $AB = 5 \text{ см}$, $BC = 6 \text{ см}$, $AC = 7 \text{ см}$.

Сколько плоскостей можно провести через точки $A, B$ и $C$?

Для того чтобы определить, сколько плоскостей можно провести через три точки $A$, $B$ и $C$, необходимо установить их взаимное расположение. Согласно одной из аксиом стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Если же три точки лежат на одной прямой, то через них можно провести бесконечное множество плоскостей.

Чтобы проверить, лежат ли точки $A$, $B$ и $C$ на одной прямой, можно использовать неравенство треугольника. Если точки не лежат на одной прямой, они образуют треугольник, и для него должно выполняться правило: сумма длин любых двух сторон больше длины третьей стороны. Если точки лежат на одной прямой, то сумма длин двух меньших отрезков, соединяющих эти точки, будет равна длине большего отрезка.

В условии даны расстояния между точками: $AB = 5$ см, $BC = 6$ см, $AC = 7$ см.Проверим выполнение неравенства треугольника:
1. $AB + BC > AC \implies 5 + 6 > 7 \implies 11 > 7$. Неравенство выполняется.
2. $AB + AC > BC \implies 5 + 7 > 6 \implies 12 > 6$. Неравенство выполняется.
3. $BC + AC > AB \implies 6 + 7 > 5 \implies 13 > 5$. Неравенство выполняется.

Так как сумма длин любых двух отрезков больше длины третьего, точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой. Следовательно, они являются вершинами треугольника.

Поскольку точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой, через них можно провести только одну плоскость.

Ответ: 1.

1.8. Даны точки $D$, $E$ и $F$, такие, что $DE = 2$ см, $EF = 4$ см, $DF = 6$ см.

Сколько плоскостей можно провести через точки $D$, $E$ и $F$?

Для того чтобы определить, сколько плоскостей можно провести через три точки D, E и F, необходимо выяснить, лежат ли эти точки на одной прямой.

Согласно основной аксиоме стереометрии, через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Если же три точки лежат на одной прямой, то через них можно провести бесконечно много плоскостей.

Проверим, лежат ли точки D, E и F на одной прямой. Для этого воспользуемся свойством отрезков: если сумма длин двух отрезков равна длине третьего, то три точки, являющиеся концами этих отрезков, лежат на одной прямой.

По условию нам даны длины отрезков: $DE = 2$ см, $EF = 4$ см, $DF = 6$ см.

Найдем сумму длин двух меньших отрезков DE и EF:
$DE + EF = 2 \text{ см} + 4 \text{ см} = 6 \text{ см}$

Сравним полученную сумму с длиной самого большого отрезка DF:
$6 \text{ см} = DF$

Так как выполняется равенство $DE + EF = DF$, точки D, E и F лежат на одной прямой, причем точка E находится между точками D и F.

Поскольку все три точки лежат на одной прямой, через них можно провести бесконечное множество плоскостей.

Ответ: бесконечно много.

1.9. В комнате на люстре сидели три мухи. Одновременно они начали летать: первая — кружить вокруг люстры на одинаковой высоте, вторая — спускаться от люстры вертикально вниз и подниматься обратно, третья — перемещаться от люстры до двери и обратно. Скорость всех мух одинакова. Через какое время все три мухи окажутся в одной плоскости?

Для решения этой задачи необходимо проанализировать движение каждой мухи и использовать базовые принципы геометрии.

Введем трехмерную систему координат. Пусть точка, из которой мухи начинают движение (на люстре), будет началом координат $O(0, 0, 0)$.

1. Первая муха кружит вокруг люстры на одинаковой высоте. Ее траектория — это окружность, лежащая в горизонтальной плоскости. В нашей системе координат это будет плоскость $z=0$. Положение первой мухи в любой момент времени $t > 0$ можно описать как $M_1(x_1(t), y_1(t), 0)$.
2. Вторая муха спускается вертикально вниз и поднимается обратно. Ее траектория — это отрезок на вертикальной оси $Oz$. Положение второй мухи в любой момент времени $t > 0$ можно описать как $M_2(0, 0, z_2(t))$.
3. Третья муха перемещается от люстры до двери и обратно. Будем считать, что это движение происходит по прямой в горизонтальной плоскости. Мы можем направить ось $Ox$ вдоль этой прямой. Тогда положение третьей мухи в любой момент времени $t > 0$ будет $M_3(x_3(t), 0, 0)$.

Теперь рассмотрим условие задачи: "все три мухи окажутся в одной плоскости".

Из геометрии известно, что через любые три точки, не лежащие на одной прямой (неколлинеарные), можно провести единственную плоскость. В начальный момент времени $t=0$ все три мухи находятся в одной точке $O(0, 0, 0)$, что является вырожденным случаем (через одну точку проходит бесконечное множество плоскостей).

Как только мухи начинают движение ($t > 0$), их положения $M_1, M_2, M_3$ становятся различными. Проверим, могут ли они лежать на одной прямой (быть коллинеарными). Для этого необходимо, чтобы вектор $\vec{M_2 M_1}$ был пропорционален вектору $\vec{M_2 M_3}$.

$\vec{M_2 M_1} = (x_1, y_1, -z_2)$

$\vec{M_2 M_3} = (x_3, 0, -z_2)$

Для коллинеарности необходимо, чтобы их координаты были пропорциональны. Из пропорциональности вторых координат следует, что $y_1 = k \cdot 0 = 0$. Это означает, что первая муха должна находиться на оси $Ox$. Из пропорциональности третьих координат следует, что $-z_2 = k \cdot (-z_2)$, что верно при $k=1$ (если $z_2 \neq 0$). Но тогда из первых координат $x_1 = 1 \cdot x_3$. Это крайне специфическое условие, которое может выполняться только в отдельные моменты времени, если траектории мух (радиус окружности, расстояние до двери и глубина спуска) находятся в определенном соотношении. В общем случае мухи не лежат на одной прямой.

Поскольку в общем случае три мухи не коллинеарны, их положения в любой момент времени $t > 0$ образуют треугольник. А через вершины любого треугольника всегда проходит единственная плоскость.

Таким образом, условие "три мухи находятся в одной плоскости" выполняется в любой момент времени после начала их движения.

Вопрос "Через какое время?" подразумевает нахождение первого момента времени $t > 0$, когда условие будет выполнено. Так как оно выполняется для любого $t > 0$, оно выполняется и для сколь угодно малого промежутка времени после старта.

Ответ: Мухи окажутся в одной плоскости в любой момент времени после начала движения, то есть сразу же.

3.10. Могут ли две плоскости иметь только одну общую точку?

Нет, две плоскости не могут иметь только одну общую точку. Это утверждение следует из аксиом стереометрии, и его можно доказать методом от противного.

Предположим, что две различные плоскости, назовем их $\alpha$ и $\beta$, имеют ровно одну общую точку $A$.

Согласно одной из основных аксиом стереометрии: если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Поскольку по нашему предположению плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $A$, они должны пересекаться по некоторой прямой $l$, и эта прямая должна проходить через точку $A$.

Любая прямая состоит из бесконечного множества точек. Все точки прямой $l$, являющейся линией пересечения, принадлежат одновременно и плоскости $\alpha$, и плоскости $\beta$. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют не одну общую точку, а бесконечно много общих точек, образующих прямую.

Это заключение прямо противоречит нашему первоначальному предположению о том, что у плоскостей была только одна общая точка. Следовательно, исходное предположение было неверным.

Таким образом, для двух различных плоскостей в пространстве возможны только два варианта взаимного расположения:
1. Они не имеют общих точек (т.е. они параллельны).
2. Они имеют бесконечно много общих точек, которые образуют прямую (т.е. они пересекаются).
(Третий случай, когда плоскости совпадают, означает, что все их точки общие, что также является бесконечным множеством).

Случай, когда у двух плоскостей есть только одна общая точка, невозможен.

Ответ: Нет.

1.11. Изобразите плоскости $\alpha$ и $\beta$, прямую $c$, точки $A$ и $B$, если известно, что $\alpha \cap \beta = c$, $A \in c$, $B \in \alpha$, $B \notin \beta$.

Для того чтобы изобразить геометрическую конфигурацию, описанную в задаче, необходимо последовательно проанализировать все условия.

1. Условие $α \cap β = c$ означает, что плоскости $α$ и $β$ пересекаются, и линией их пересечения является прямая $c$. В стереометрии пересекающиеся плоскости принято изображать в виде двух пересекающихся параллелограммов (или других плоских фигур). Прямая $c$ будет являться общей линией для этих двух плоскостей.

2. Условие $A \in c$ означает, что точка $A$ принадлежит прямой $c$. Так как прямая $c$ является линией пересечения плоскостей ($c \subset α$ и $c \subset β$), то точка $A$ принадлежит обеим плоскостям: $A \in α$ и $A \in β$. На чертеже точка $A$ должна быть отмечена на прямой $c$.

3. Условия $B \in α$ и $B \notin β$ означают, что точка $B$ принадлежит плоскости $α$, но не принадлежит плоскости $β$. Если бы точка $B$ лежала на линии пересечения $c$, она бы принадлежала обеим плоскостям. Поскольку $B \notin β$, точка $B$ не может лежать на прямой $c$. Следовательно, точка $B$ должна быть изображена в плоскости $α$, но вне прямой $c$.

Изображение, удовлетворяющее всем перечисленным условиям, представлено ниже:

Ответ: На приведенном рисунке изображены две пересекающиеся плоскости $α$ и $β$. Прямая $c$ — это линия их пересечения. Точка $A$ расположена на прямой $c$, что означает ее принадлежность обеим плоскостям. Точка $B$ расположена в плоскости $α$, но не на прямой $c$, что означает ее непринадлежность плоскости $β$. Таким образом, изображение полностью соответствует условиям задачи.

1.12. Изобразите плоскости $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и прямую $m$, если известно, что $\alpha \cap \beta = m, \alpha \cap \gamma = m$.

Согласно условию задачи, даны два утверждения: $α ∩ β = m$ и $α ∩ γ = m$.

Первое утверждение, $α ∩ β = m$, означает, что плоскости $α$ и $β$ пересекаются по прямой $m$. Из этого следует, что прямая $m$ целиком лежит как в плоскости $α$, так и в плоскости $β$. Математически это записывается как $m ⊂ α$ и $m ⊂ β$.

Второе утверждение, $α ∩ γ = m$, означает, что плоскости $α$ и $γ$ также пересекаются по прямой $m$. Из этого следует, что прямая $m$ целиком лежит как в плоскости $α$, так и в плоскости $γ$. Математически это записывается как $m ⊂ α$ и $m ⊂ γ$.

Объединяя выводы, мы видим, что прямая $m$ принадлежит всем трем плоскостям одновременно: $m ⊂ α$, $m ⊂ β$ и $m ⊂ γ$. Таким образом, все три плоскости $α$, $β$ и $γ$ проходят через одну общую прямую $m$. Такое взаимное расположение плоскостей можно представить в виде страниц раскрытой книги, где линия переплета — это общая прямая $m$.

Ниже представлено графическое изображение, иллюстрирующее данную ситуацию.

На рисунке прямая $m$ является линией пересечения для каждой пары плоскостей из набора {$α, β, γ$}.

Ответ: Изображение представляет собой три различные плоскости ($α$, $β$, $γ$), которые проходят через одну общую прямую ($m$), как показано на рисунке.

1.13. Изобразите плоскости $ \alpha, \beta, \gamma $ и прямые $ a, b, c, $ если известно, что $ \alpha \cap \beta = c, \alpha \cap \gamma = b, \beta \cap \gamma = a. $

Для того чтобы изобразить заданную конфигурацию плоскостей и прямых, проанализируем условия:

1. $α \cap β = c$ — пересечением плоскостей $α$ и $β$ является прямая $c$. Это означает, что прямая $c$ лежит одновременно в обеих плоскостях: $c \subset α$ и $c \subset β$.
2. $α \cap γ = b$ — пересечением плоскостей $α$ и $γ$ является прямая $b$. Это означает, что прямая $b$ лежит одновременно в обеих плоскостях: $b \subset α$ и $b \subset γ$.
3. $β \cap γ = a$ — пересечением плоскостей $β$ и $γ$ является прямая $a$. Это означает, что прямая $a$ лежит одновременно в обеих плоскостях: $a \subset β$ и $a \subset γ$.

Теперь рассмотрим общую точку для всех трех плоскостей, если она существует. Пусть точка $O$ принадлежит пересечению всех трех плоскостей: $O \in α \cap β \cap γ$.

Из того, что $O \in α$ и $O \in β$, следует, что точка $O$ должна лежать на линии их пересечения, то есть $O \in c$.

Аналогично, из того, что $O \in α$ и $O \in γ$, следует, что $O \in b$.

И из того, что $O \in β$ и $O \in γ$, следует, что $O \in a$.

Таким образом, все три прямые $a$, $b$ и $c$ должны пересекаться в одной точке $O$. Эта точка является единственной общей точкой для трех данных плоскостей. Геометрически такая конфигурация представляет собой три плоскости, проходящие через одну точку, не совпадая и не являясь параллельными. Хорошей аналогией является внутренний угол комнаты, где сходятся две стены и пол.

Изображение данной конфигурации представлено ниже:

Ответ: Изображение, соответствующее условиям задачи, представлено выше. Оно показывает три плоскости $α, β, γ$, пересекающиеся в одной точке, и три прямые $a, b, c$, являющиеся их линиями попарного пересечения, которые также пересекаются в этой же точке.

1.14. Прямая $m$ — линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ (рис. 1.18). Точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $\alpha$, а точка $C$ — плоскости $\beta$. Постройте линии пересечения плоскости $ABC$ с плоскостью $\alpha$ и с плоскостью $\beta$.

Рис. 1.17

Рис. 1.18

Задача состоит в построении двух прямых: линии пересечения плоскости $ABC$ с плоскостью $\alpha$ и линии пересечения плоскости $ABC$ с плоскостью $\beta$.

Линия пересечения двух плоскостей — это прямая, которая принадлежит обеим этим плоскостям.
По условию, точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $\alpha$. Таким образом, $A \in \alpha$ и $B \in \alpha$.
Плоскость $ABC$ проходит через точки $A$, $B$ и $C$. Следовательно, точки $A$ и $B$ также принадлежат и плоскости $ABC$. То есть $A \in (ABC)$ и $B \in (ABC)$.
Поскольку обе точки, $A$ и $B$, лежат как в плоскости $\alpha$, так и в плоскости $ABC$, то прямая, проходящая через эти точки, является линией их пересечения.
Таким образом, прямая $AB$ — это линия пересечения плоскости $ABC$ с плоскостью $\alpha$.

Ответ: Линией пересечения плоскости $ABC$ с плоскостью $\alpha$ является прямая $AB$.

Для нахождения линии пересечения плоскостей $ABC$ и $\beta$ необходимо найти две общие точки этих плоскостей.
По условию, точка $C$ принадлежит плоскости $\beta$ ($C \in \beta$). По определению, точка $C$ также принадлежит плоскости $ABC$ ($C \in (ABC)$). Следовательно, точка $C$ является одной из точек искомой прямой.
Для нахождения второй точки воспользуемся тем, что три плоскости ($ABC$, $\alpha$ и $\beta$) пересекаются по трем прямым, которые либо параллельны, либо пересекаются в одной точке. Мы уже знаем две из этих прямых: $m = \alpha \cap \beta$ и $AB = (ABC) \cap \alpha$.
Прямые $AB$ и $m$ лежат в одной плоскости $\alpha$. Найдем их точку пересечения, продолжив прямую $AB$ до пересечения с прямой $m$. Обозначим эту точку $P$.
$P = AB \cap m$.
Рассмотрим принадлежность точки $P$ плоскостям:

• Так как точка $P$ лежит на прямой $AB$ ($P \in AB$), а прямая $AB$ лежит в плоскости $ABC$ ($AB \subset (ABC)$), то точка $P$ принадлежит плоскости $ABC$ ($P \in (ABC)$).
• Так как точка $P$ лежит на прямой $m$ ($P \in m$), а прямая $m$ лежит в плоскости $\beta$ ($m \subset \beta$), то точка $P$ принадлежит плоскости $\beta$ ($P \in \beta$).

Таким образом, точка $P$ является второй общей точкой плоскостей $ABC$ и $\beta$.
Прямая, проходящая через точки $C$ и $P$, является линией пересечения плоскости $ABC$ и плоскости $\beta$.

Ответ: Линией пересечения плоскости $ABC$ с плоскостью $\beta$ является прямая $CP$, где $P$ – точка пересечения прямой $AB$ и прямой $m$.