Номер 7, страница 15 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 2. Следствия из аксиом стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 7, страница 15.

Условие.

2.7. Даны прямая $a$ и точка $A$ вне её. Докажите, что все прямые, которые проходят через точку $A$ и пересекают прямую $a$, лежат в одной плоскости.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся аксиомами стереометрии.

1. По условию даны прямая $a$ и точка $A$, не принадлежащая этой прямой ($A \notin a$). Согласно аксиоме стереометрии, через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Определим эту единственную плоскость как $\alpha$.

2. Из определения плоскости $\alpha$ следует, что и прямая $a$, и точка $A$ принадлежат этой плоскости. Математически это записывается как $a \subset \alpha$ и $A \in \alpha$.

3. Теперь рассмотрим любую произвольную прямую $b$, которая удовлетворяет условию задачи, то есть проходит через точку $A$ и пересекает прямую $a$. Пусть точка их пересечения — $B$.

4. Поскольку прямая $b$ проходит через точку $A$, то точка $A$ лежит на прямой $b$ ($A \in b$). Поскольку прямая $b$ пересекает прямую $a$ в точке $B$, то точка $B$ принадлежит обеим прямым, то есть $B \in b$ и $B \in a$.

5. Так как точка $B$ лежит на прямой $a$ ($B \in a$), а вся прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), то точка $B$ также принадлежит плоскости $\alpha$ ($B \in \alpha$).

6. Мы получили, что две различные точки $A$ и $B$, принадлежащие прямой $b$, одновременно лежат и в плоскости $\alpha$.

7. Согласно другой аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Отсюда следует, что прямая $b$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

8. Так как прямая $b$ была выбрана произвольно из множества всех прямых, удовлетворяющих условию, то наше заключение верно для всех таких прямых. Все они лежат в одной и той же плоскости $\alpha$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Все прямые, проходящие через точку $A$ и пересекающие прямую $a$, лежат в одной плоскости, а именно в той единственной плоскости, которая определяется прямой $a$ и точкой $A$.