Номер 14, страница 15 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 2. Следствия из аксиом стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 14, страница 15.

Условие.

2.14. Найдите ошибку на рисунке 2.5, если известно, что вершина $D$ четырехугольника $ABCD$ лежит в плоскости $\alpha$, вершины $A, B$ и $C$ не лежат в этой плоскости, прямая $AB$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $E$, прямая $BC$ – в точке $F$. Выполните правильный рисунок.

Рис. 2.3

Рис. 2.4

Рис. 2.5

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Найдите ошибку на рисунке 2.5

Согласно условию задачи, имеется четырехугольник $ABCD$ и плоскость $\alpha$.

1. Точки $A$, $B$ и $C$, как вершины четырехугольника (не лежащие на одной прямой), задают некоторую плоскость. Назовем ее $\beta$. Поскольку $ABCD$ — четырехугольник, все его вершины по определению лежат в одной плоскости, следовательно, точка $D$ также лежит в плоскости $\beta$.
2. Прямая $AB$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $E$. Это означает, что точка $E$ принадлежит как прямой $AB$, так и плоскости $\alpha$. Так как прямая $AB$ лежит в плоскости $\beta$, то точка $E$ принадлежит и плоскости $\beta$. Следовательно, точка $E$ лежит на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.
3. Аналогично, прямая $BC$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $F$. Это означает, что точка $F$ принадлежит как прямой $BC$, так и плоскости $\alpha$. Так как прямая $BC$ лежит в плоскости $\beta$, то точка $F$ принадлежит и плоскости $\beta$. Следовательно, точка $F$ также лежит на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.
4. По условию, вершина $D$ лежит в плоскости $\alpha$. Из пункта 1 мы знаем, что $D$ также лежит в плоскости $\beta$. Значит, точка $D$ тоже должна лежать на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.
5. Пересечением двух различных плоскостей является прямая. Из пунктов 2, 3 и 4 следует, что все три точки — $D$, $E$ и $F$ — должны лежать на одной прямой, которая является линией пересечения плоскости четырехугольника $\beta$ и плоскости $\alpha$.

Ошибка на рисунке 2.5 заключается в том, что точки $D$, $E$ и $F$ не лежат на одной прямой, а образуют треугольник в плоскости $\alpha$.

Ответ: Ошибка на рисунке состоит в том, что точки $D$, $E$ и $F$, являющиеся точками пересечения плоскости четырехугольника $ABCD$ с плоскостью $\alpha$, не расположены на одной прямой.

Выполните правильный рисунок

На правильном рисунке точки $D$, $E$ и $F$ должны лежать на одной прямой, расположенной в плоскости $\alpha$.

Ответ: Правильный рисунок представлен выше. На нем точки $D$, $E$, $F$ лежат на одной прямой в плоскости $\alpha$, точка $D$ является вершиной четырехугольника, а точки $E$ и $F$ — точками пересечения прямых $AB$ и $BC$ с плоскостью $\alpha$ соответственно.