Номер 5, страница 15 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 2. Следствия из аксиом стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 5, страница 15.

Условие.

2.5. Сторона $AC$ и центр $O$ описанной окружности треугольника $ABC$ лежат в плоскости $\alpha$. Лежит ли в этой плоскости вершина $B$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для ответа на данный вопрос необходимо проанализировать взаимное расположение точек $A$, $C$, $O$ и вершины $B$.

По определению, все три вершины треугольника $A$, $B$, $C$ и центр его описанной окружности $O$ лежат в одной плоскости — назовем её плоскостью треугольника $\beta$. Из условия задачи нам известно, что точки $A$, $C$ и $O$ также лежат в плоскости $\alpha$. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Точки $A$, $C$ и $O$ не лежат на одной прямой (неколлинеарны).
Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Поскольку точки $A$, $C$ и $O$ принадлежат как плоскости $\beta$ (плоскости треугольника), так и плоскости $\alpha$ (по условию), эти две плоскости обязаны совпадать: $\alpha = \beta$. Вершина $B$ принадлежит плоскости треугольника $\beta$, следовательно, она также лежит и в плоскости $\alpha$. В этом случае ответ — да, вершина $B$ лежит в плоскости $\alpha$.

Случай 2: Точки $A$, $C$ и $O$ лежат на одной прямой (коллинеарны).
Такая ситуация возможна только в одном случае: если треугольник $ABC$ является прямоугольным, а сторона $AC$ — его гипотенузой. Тогда центр описанной окружности $O$ будет являться серединой гипотенузы $AC$.В этом случае условие, что точки $A$, $C$ и $O$ лежат в плоскости $\alpha$, означает, что вся прямая, содержащая гипотенузу $AC$, лежит в плоскости $\alpha$. Однако плоскость самого треугольника $\beta$ определяется этой прямой $AC$ и точкой $B$, которая не лежит на данной прямой. Через одну прямую в пространстве можно провести бесконечное множество плоскостей. Плоскость $\alpha$ — лишь одна из них. Ничто в условии не обязывает плоскость треугольника $\beta$ совпадать с плоскостью $\alpha$. Следовательно, вершина $B$ может и не лежать в плоскости $\alpha$.

Так как существует случай, когда вершина $B$ не обязана лежать в плоскости $\alpha$, то на общий вопрос нельзя дать однозначный положительный ответ.

Ответ: Не обязательно. Вершина $B$ будет лежать в плоскости $\alpha$ тогда и только тогда, когда точки $A$, $C$ и $O$ не лежат на одной прямой. Если же треугольник $ABC$ является прямоугольным с гипотенузой $AC$ (и точки $A$, $C$, $O$ лежат на одной прямой), то вершина $B$ может лежать вне плоскости $\alpha$.