Номер 15, страница 24 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Пространственные фигуры. Начальные представления о многогранниках. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 15, страница 24.

Условие.

3.15. Дана пирамида $SABCDE$ (рис. 3.30). Постройте линию пересечения плоскостей $ASE$ и $BSC$.

Рис. 3.30

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения линии пересечения двух плоскостей, в данном случае $ASE$ и $BSC$, необходимо найти две общие точки, которые одновременно принадлежат обеим плоскостям. Прямая, проведенная через эти две точки, и будет являться искомой линией пересечения.

Нахождение первой общей точки

По определению заданных плоскостей $ASE$ и $BSC$, вершина пирамиды, точка $S$, является общей для них обеих. Таким образом, точка $S$ — первая точка, принадлежащая линии пересечения.

Нахождение второй общей точки

Чтобы найти вторую общую точку, рассмотрим прямые, лежащие в этих плоскостях. Прямая $AE$ принадлежит плоскости $ASE$, а прямая $BC$ принадлежит плоскости $BSC$. Обе эти прямые ($AE$ и $BC$) также лежат в одной плоскости — плоскости основания пирамиды $ABCDE$.

Поскольку прямые $AE$ и $BC$ лежат в одной плоскости, они либо параллельны, либо пересекаются. На данном чертеже видно, что они не параллельны, а значит, они должны пересечься в некоторой точке. Продлим отрезки $AE$ и $BC$ до их пересечения и обозначим эту точку как $P$.

Точка $P$ принадлежит прямой $AE$, следовательно, она принадлежит и плоскости $ASE$.
Точка $P$ принадлежит прямой $BC$, следовательно, она принадлежит и плоскости $BSC$.
Таким образом, точка $P$ является второй общей точкой для плоскостей $ASE$ и $BSC$.

Построение линии пересечения

Мы нашли две общие точки для плоскостей $ASE$ и $BSC$ — это точки $S$ и $P$. Проведя прямую через эти две точки, мы получим искомую линию пересечения.

Алгоритм построения:

1. В плоскости основания пирамиды построить прямую, проходящую через точки $A$ и $E$.
2. В той же плоскости основания построить прямую, проходящую через точки $B$ и $C$.
3. Найти точку пересечения этих двух прямых: $P = AE \cap BC$.
4. Провести прямую через вершину пирамиды $S$ и найденную точку $P$.

Прямая $SP$ является искомой линией пересечения плоскостей $ASE$ и $BSC$.

Ответ: Линия пересечения плоскостей $ASE$ и $BSC$ — это прямая $SP$, где $S$ — вершина пирамиды, а $P$ — точка пересечения прямых $AE$ и $BC$.